abstand windschiefer geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Do 07.04.2005 | | Autor: | joimic |
Guten Tag!
Ich bin mal wíeder auf eure Hilfe angewiesen.
Meine Frage: Wie berechne ich den Abstand windschiefer Geraden.
Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar!
Einen schönen Tag noch.
Micha
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Hallo Micha!
> Guten Tag!
> Ich bin mal wíeder auf eure Hilfe angewiesen.
Kein Problem - dafür sind wir ja da! 
> Meine Frage: Wie berechne ich den Abstand windschiefer
> Geraden.
> Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar!
Überleg dir einmal, wie der Abstand zwischen windschiefen Geraden definiert ist. Es ist der kürzeste Abstand zwischen beiden, und das Kürzeste ist immer senkrecht. Also musst du einen Vektor finden, der zu beiden Gerade senkrecht ist. Wie machst du das? Nun, du nimmst dir zuerst einmal den Richtungsvektor der einen Geraden. Nun suchst du einen Vektor, der zu diesem Vektor senkrecht ist. Was muss gelten, wenn zwei Vektoren senkrecht sind? Genau, das Skalarprodukt ist =0. Also kannst du schreiben (mit [mm] \vec{u} [/mm] dem Richtungsvektor der Geraden):
[mm] \vec{u}*\vec{n}=0
[/mm]
Das Gleiche muss natürlich auch noch für den Richtungsvektor der zweiten Geraden gelten, also:
[mm] \vec{v}*\vec{n}=0
[/mm]
Nun kannst du deine Werte einsetzen und bekommst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, das du lösen kannst. (Du kannst eine Variable wählen, am besten wählst du sie so, dass du für alle drei Variablen ganzzahlige Lösungen erhältst.)
Wenn du das hast, dann normierst du deinen Vektor [mm] \vec{n}, [/mm] das heißt, du teilst ihn durch seinen Betrag, man schreibt dann: [mm] \vec{n_0}.
[/mm]
Der Abstand deiner beiden Geraden beträgt nun:
[mm] d=|(\vec{q}-\vec{p})*\vec{n_0}|
[/mm]
Alles klar?
Probier' dich doch mal an einer Aufgabe und zeige uns deine Rechnungen. 
> Einen schönen Tag noch.
Danke gleichfalls.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Askariva |
huhu zusammen...
ich muss morgen eingfs zu diesem thema halten.. *schluchz*
aber wozu brauche ich denn diese dämlichen hilfsebenen???
so stehts bei uns im buch... zuerst hilfebenen bilden und dann wie oben weiter machen, aber wozu brauch ich die???
grüßle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Askariva |
also erstmal vielen dank für deine antwort!
wenn ich die nur zur veranschaulichung brauche, kann ich die denn dann nicht einfach weglassen???
ach übrigens *schluchz* weil ich von mathe überhaupt gar keine ahnung hab...
ich hab noch ne frage *g*
und zwar hab ich das ganze jetzt soweit verstanden... aber jetzt hab ich eine Pyramide mit den Ecken A(-9/3/-3) B(-3/-6/0) C(-7/5/5) D(4/8/0) P, Q, R, S, T, U sind jeweils die Kantenmitten der Pyramide
a) Berechnen sie den Abstand der geraden durch A und C zur Geraden durch B und D
b) den Abstand des Punktes A zur Ebene durch B, C und D
wie kann ich denn bei so ner aufgabe dieses verfahren dann anwenden??? *total verwirrt bin*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Askariva |
Das Kreuzprodukt haben wir leider nicht gelernt...
Gibts da auch einen anderen lösungsweg dafür?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Herby |
Salut,
> Das Kreuzprodukt haben wir leider nicht gelernt...
> Gibts da auch einen anderen lösungsweg dafür?
öhm - klar gibt es andere (umständlichere) Wege - dafür solltest du uns veraten, welche Formen der Geraden- und Ebenengleichungen du kennst. Wie habt ihr das in der Schule gemacht?
Sind unsere Geradengleichungen in arbeit?
Lg
Herby
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Hi, Joimic,
Bastianes Antwort ist richtig, hat nur den Nachteil, dass Du Dir die Formel merken musst: In den meisten Formelsammlungen steht die nicht drin.
Drum hier ein weiterer Lösungsweg:
Sagen wir, die windschiefen Gerade heißen g und h.
Dann bildest Du zunächst diejenige Ebene, die g enthält und zu h parallel ist, in Parameterform. Diese wandelst Du dann in die Koordinatenform (Normalenform) und anschließend in die HNF um.
Nun brauchst Du nur noch den Aufpunkt von h einzusetzen, denn da h parallel zu dieser Ebene ist, ist dieser Abstand gleich dem gesuchten zwischen den beiden Geraden g und h.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Sa 22.12.2007 | | Autor: | regow |
Wäre es nicht verständlicher ein Spatprodukt der drei Vektoren a, b und (P1-P2) zu erstellen und dann durch die Grundfläche a x b zu dividieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Sa 22.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo regow,
ob das verständlicher ist oder nicht, ist sicher Ansichtssache. Richtig ist es unzweifelhaft.
Um die Verbindung herzustellen zu der Erklärung von Zwerglein:
Das Spatprodukt ist hier (a x b) * (p1 - p0).
Bedenke, daß [mm] $\vec{a} \times \vec{b}$ [/mm] ein Normalenvektor der von Zwerglein beschriebenen Hilfsebene ist.
Nach Division durch [mm] $|\vec{a} \times \vec{b}|$ [/mm] erhalten wir den Einheitsnormalenvektor und
[mm] $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} [/mm] * [mm] (\vec{p_1} [/mm] - [mm] \vec{p_0})$ [/mm] liefert den Abstand des Punktes [mm] $P_1$ [/mm] von der durch
[mm] $(\vec{a} \times \vec{b}) [/mm] * [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p_0}) [/mm] = 0$ definierten Hilfsebene.
Gruß
Will
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
-- was können wir nur dagegen machen 