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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Fr 02.05.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | wenn A [mm] \in M(kxk,\IC) [/mm] eine Matrix ist, betrachte die Folge [mm] A_n [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n} \bruch{1}{j!}A^j
[/mm]
wobei [mm] A^0 [/mm] = [mm] E_k [/mm] definiert ist. Wir sagen, dass [mm] A_n [/mm] genen A [mm] \in M(kxk,\IC) [/mm] konvergiertn und schreiben lim [mm] A_n [/mm] = A, wenn für alle l,m die Folge der Einträge [mm] (a_{l,m})^{(n)} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n} \bruch{A^j}{j!}_{l,m} [/mm] gegen [mm] a_{l,m} \in \IC [/mm] konvergiert.
Behauptung: die oben definierte Folge [mm] A_n [/mm] konvergiert.
Wir schreiben: [mm] limA_n [/mm] = exp(A)
a) Zeigen Sie die Behauptung für Diagonalmatrizen A. |
Also um ganz ehrlich zu sein, ich bin hier ziemlich ratlos wie ich anfangen soll.
Mir ist zwar klar, dass der lim [mm] A_n [/mm] = exp(A) ist und das mit den Einträgen hab ich auch verstanden, nur wie beweist man das... denn wenn ich jetzt zum Beispiel als Diagonalmatrix [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm] nehme, und einfach mal oben einsetzte, dann wäre ja der Anfang:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm] + 1/2 * [mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 9 } [/mm] + 1/6 * [mm] \pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 27 } [/mm] usw nur wie hilft mir das jetzt weiter... irgendwie versteh ich das nicht so ganz...
es wäre echt super nett, wenn mir jemand einen kleinen Hinweis geben könnte
lg penguin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Sa 03.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Bei Diagonalmatrizen ist ja der Witz, dass sich die Einträge [mm] $a_{ij}$ [/mm] beim Potenzieren nicht gegenseitig beeinflussen, d.h. [mm] $(a_{ij})^n=(a_{ij}^n)$. [/mm] Insbesondere folgt daraus [mm] $$\exp(A)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a_{ij})^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a_{ij}^k)}{k!}=\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{a_{ij}^k}{k!}\right)=\pmat{\exp(a_{11})&0&\hdots&0\\0&\exp(a_{22})&\hdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\hdots&\exp(a_{nn})}$$
[/mm]
für beliebige [mm] $a_{ij}\in\IC$.
[/mm]
Edit: Achtung, wie ich es oben geschrieben habe ist es nicht ganz exakt, denn esmüsste bei den nicht-Diagonaleinträgen am Ende eine 1 stehen, es ist aber bei Matrizen [mm] $A^0=\mathrm{E}_n$, [/mm] also die Einheitsmatrix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 03.05.2008 | | Autor: | penguin |
Hey,
danke schonmal für deine Antwort... ich versteh auch, wie du von exp(A) auf die Matrix kommst, nur was bringt mir das denn jetzt. Könntest du das viell mal was genauer erklären... wäre echt nett.
lg penguin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Sa 03.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja du sollst zeigen dass $\sum_{k=0}^n\frac{A^k}{k!}$ für Diagonalmatrizen konvergiert. Ich hab dir die Grenzmatrix doch oben sogar hingeschrieben, jetzt musst du nur noch die eintrags-weise Konvergenz zeigen, d.h. dass auch wirklich gilt:$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{A^k}{k!}=\pmat{\exp(a_{11})&0&\hdots&0\\0&\exp(a_{22})&\hdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\hdots&\exp(a_{mm})}$$
Aber das ist doch klar, da
$$\sum_{k=0}^n\frac{A^k}{k!}=\pmat{\sum_{k=0}^n\frac{(a_{11})^k}{k!}&0&\hdots&0\\0&\sum_{k=0}^n\frac{(a_{22})^k}{k!}&\hdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\hdots&\sum_{k=0}^n\frac{(a_{mm})^k}{k!}$$
(wobei m die Dimension der Matrix $A:=(a_{ij})$ ist)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 03.05.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | also ich hoffe das ist OK, aber die Aufgabe hat noch mehrere Teile, ich dachte mir, dass wenn ich vielleicht den Anfang verstanden habe, dass ich auch den Rest verstehe, aber naja, es haut nicht so richtig hin.... ich möchte eigentlich nur wissen, ob das richtig ist...
b) zeigen Sie die Behauptung fuer eine Jordanblock [mm] A=(\gamma,k) [/mm] |
also ich hab mir das wiedermal aufgezeichnet und dann komm ich zu folgender Matrix
[mm] \pmat{ \summe_{j=o}^{n}{\bruch{a_{11}^j}{j!}} & (n-1)!*\summe_{j=o}^{n-1}{\bruch{a_{12}^j}{j!}} & \cdots & & 1 \\ 0 & \summe_{j=o}^{n}{\bruch{a_{22}^j}{j!}} & (n-1)!*\summe_{j=o}^{n-1}{\bruch{a_{23}^j}{j!}} & \cdots & 1 \\ 0 & . & . & . & .\\ 0 & . & . & . & .\\ 0 & . & . & . & . \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \summe_{j=o}^{n}{\bruch{a_{kk}^j}{j!}}}
[/mm]
ist das so richtig und wenn das tatsächlich richtig ist, reicht dass dann um zu zeigen, dass es konvergiert...
lg penguin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Sa 03.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Also wenn [mm] $A=(\gamma,k)$ [/mm] der Jordanblock zum Eigenwert [mm] $\gamma$ [/mm] mit Größe k sein soll, also
[mm] $$\pmat{\gamma&1&0&\hdots&0\\0&\gamma&1&\hdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&\hdots&\gamma&1\\0&0&0&\hdots&\gamma}$$
[/mm]
Dann erhalte ich [mm] $$A^n=\frac{1}{n!}\cdot\pmat{{n\choose 0}\gamma^n&{n\choose n-1}\gamma^{n-1}&{n\choose n-2}\gamma^{n-2}&\hdots&{n\choose n-k}\gamma^{n-k}\\0&{n\choose 0}\gamma^n&{n\choose n-1}\gamma^{n-1}&\hdots&{n\choose n-k+1}\gamma^{n-k+1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&\hdots&{n\choose 0}\gamma^n&{n\choose n-1}\gamma^{n-1}\\0&0&0&\hdots&{n\choose 0}\gamma^n}=(a^n_{ij})\text{ mit }a^n_{ij}:={n\choose j-i}\gamma^{j-i}$$
[/mm]
Ziemlich kompliziert, auf jeden Fall "sieht man" (d.h. du solltest mir das auf keinen Fall einfach so glauben!  ), dass
[mm] $$\pmat{e^\gamma&e^\gamma&\hdots&e^\gamma\\0&e^\gamma&\hdots&e^\gamma\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\hdots&e^\gamma}$$
[/mm]
eine konvergente Majorante ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Mathek |
hi Pelzig
ich habe was anders fuer die Eintraege raus:
[mm] (a_l,_m)^{j}:={j\choose j-(m-l)}\gamma^{j-(m-l)}
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=0}^{n}\bruch{{j\choose j-(m-l)}\gamma^{j-(m-l)}}{j!}
[/mm]
naja und bis jetzt hab ich noch keinen trick zur umformung des ganzen gefunden.
waere klasse wenn jmd mal ein paar tipps geben koennte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mo 05.05.2008 | | Autor: | penguin |
also ich glaub schon, dass die erste Umformung richtig ist, denn wenn du das einsetzt, dann kriegst du das raus, was rauskommen soll. Schau die mal als Beispiel die Matrix [mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda } [/mm] an. Wenn du das hoch 2 rechnest, kriegst du [mm] \pmat{ \lambda^2 & 2\lambda \\ 0 & \lambda^2 } [/mm] und wenn du die Matrix so umformst, wie ganz oben gesagt und fuer n=2 einsetzt, kriegt du genau diese Matrix wieder raus....
ich hoffe ich hab dir jetzt keinen Käse erzählt
lg penguin
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:39 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Mathek |
ja das stimmt. aber wenn du die matrix noch mit dem 1/n! muliplizierst...stimmts ncht mehr.
meine frage war mehr auf die definition fuer die eintraege selbst bezogen.
wenn d pelzigs formel (fuer die eintraege) benutzt, kommt auf der diagonalen immer null raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mi 07.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 05.05.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | also ich hab noch 2 Teile, die ich nicht verstehe, diesmal hab ich ueberhaupt keinen Plan...
d) Zeigen Sie: ist Bn eine Folge von Matrizen in M (k
× k, [mm] \IC) [/mm] und g ∈ GL(k, [mm] \IC), [/mm] so dass die Folge
[mm] (gB_n [/mm] g−1 [mm] )_{n \in \IN}
[/mm]
gegen [mm] \IC [/mm] ∈ M (k × k, [mm] \IC) [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch die Folge [mm] B_n [/mm] , und
zwar gegen g−1 C g.
e) Zeigen Sie die Behauptung für eine allgemeine Matrix A
∈ M (k × k, [mm] \IC). [/mm] |
Ich hab leider keinen Plan, wie ich damit anfangen soll. Bei der d weiss ich nicht mal, was die ueberhaupt wissen wollen... Kann mir bitte einer helfen...
sry dass ich keinen Lösungansatzt reinstellen kann, aber ich hab ehrlich keine Ahnung. Vielleicht hilft auch nur ein kleiner Hinweis in die richtige Richtung und ich komm von selbst darauf....
lg penguin
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> also ich hab noch 2 Teile, die ich nicht verstehe, diesmal
> hab ich ueberhaupt keinen Plan...
>
> d) Zeigen Sie: ist Bn eine Folge von Matrizen in M (k
> × k, [mm]\IC)[/mm] und g ∈ GL(k, [mm]\IC),[/mm] so dass die Folge
> [mm](gB_n[/mm] g−1 [mm])_{n \in \IN}[/mm]
> gegen [mm]\IC[/mm] ∈ M (k × k,
> [mm]\IC)[/mm] konvergiert, dann konvergiert auch die Folge [mm]B_n[/mm] , und
> zwar gegen g−1 C g.
> e) Zeigen Sie die Behauptung für eine allgemeine Matrix A
> ∈ M (k × k, [mm]\IC).[/mm]
> Ich hab leider keinen Plan, wie ich damit anfangen soll.
> Bei der d weiss ich nicht mal, was die ueberhaupt wissen
> wollen... Kann mir bitte einer helfen...
Hallo,
bei der d) fällt mir nicht viel anderes ein, als die Aufgabenstellung zu wiederholen, aber vielleicht nützt's trotzdem was:
Du hast gegeben eine Folge [mm] (B_n) [/mm] von Matrizen und eine invertierbare Matrix G.
Nun betrachtet man die Folge [mm] (GB_nG^{n-1}). [/mm] (Es wäre übrigens ein Entgegenkommen gegenüber dem Leser, würdest Du auch Indizes und Exponenten setzen - nicht zuletzt im eigenen Interesse.)
Es ist vorausgesetzt, daß diese Folge [mm] (GB_nG^{n-1}) [/mm] gegen eine Matrix C konvergiert, und Du sollst nun zeigen, daß dann auch die Folge [mm] (B_n) [/mm] konvergiert, und zwar gegen die Matrix [mm] G^{n-1}CG.
[/mm]
Etwas flapsig aufgeschrieben:
zu zeigen ist [mm] GB_nG^{n-1}\to [/mm] C ==> [mm] B_n \to G^{n-1}CG.
[/mm]
Bei der e) sollst Du nun zeigen, daß die eingangs definierte Folge [mm] (A_n) [/mm] mit $ [mm] A_n [/mm] $ := $ [mm] \summe_{j=0}^{n} \bruch{1}{j!}A^j [/mm] $
für jede beliebige komplexe Matrix konvergiert.
Der entscheidende Hinweis dürfte sein, daß A über [mm] \IC [/mm] betrachtet werden soll.
Das bedeutet: das charakteristische Polynom zerfällt, woraus folgt, daß es eine JNF gibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 06.05.2008 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Wenn A [mm] \in [/mm] M(kxk, [mm] \IC) [/mm] eine Matrix ist, betrachte die Folge [mm] A_n:=\sum_{j=0}^n \frac{1}{j!}A^j, [/mm] wobei [mm] A^0:=E_k [/mm] definiert ist. Wir sagen, dass [mm] A_n [/mm] gegen A [mm] \in [/mm] M(kxk, [mm] \IC) [/mm] konvegiert und schreiben [mm] \lim A_n [/mm] = A, wenn für alle l,m die Folge der Einträge [mm] a_{lm}^{(n)}=\sum_{j=0}^n(\frac{A^j}{j!})_{lm} [/mm] gegen [mm] a_{lm} \in \IC [/mm] konvergiert.
Behauptung: Die oben definierte Folge [mm] A_n [/mm] konvergiert.
Wir schreiben [mm] $\lim A_n$ [/mm] = exp(A).
(a) Zeigen Sie die Behauptung für Diagonalmatrizen A. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Also, eigentlich will ich nur sichergehen, dass ich die Aufgabe richtig verstanden/ bearbeitet habe. Die Aufgabe besteht aus insgesamt 6 Teilaufgaben, man soll die Behauptung noch für
(b) Jordanblöcke
(c) Matrizen JNF
(d)...
zeigen. Aber erstmal nur zur (a):
Nach den Tipps aus vorhilfe hab ich mal eine solche Lösung formuliert:
Es ist zz.: Für alle l,m konvergiert die Folge der Einträge [mm] a_{lm}^{(n)}=\sum_{j=0}^n(\frac{A^j}{j!})_{lm}.
[/mm]
Für Diagonalmatrizen ist aber gerade
[mm] (a_{lm})^j= \begin{cases} (a_{lm}^j), & \mbox{für } l=m \\ (0), & \mbox{für } l\not= m \end{cases}.
[/mm]
Deshalb ist:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \sum_{j=0}^n \frac{A^j}{j!}$ [/mm] =
[mm] \pmat{ lim_{n \to \infty} \sum_{j=0}^n \frac{a_{11}^j}{j!} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & lim_{n \to \infty} \sum_{j=0}^n \frac{a_{22}^j}{j!} & & \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & \ldots & 0 & lim_{n \to \infty} \sum_{j=0}^n \frac{a_{mm}^j}{j!}}
[/mm]
= [mm] \pmat{\sum_{j=0}^{\infty} \frac{a_{11}^j}{j!} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \sum_{j=0}^{\infty} \frac{a_{22}^j}{j!} & & \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & \ldots & 0 & \sum_{j=0}^{\infty} \frac{a_{mm}^j}{j!}}
[/mm]
Das ist per Definition
= [mm] \pmat{exp(a_{11}) & & \\ & \ddots & \\ & & exp(a_{mm})}
[/mm]
q.e.d
Bin ich dann damit fertig??
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Hallo,
ja, was Du schreibst ist richtig.
Gruß v. Angela
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