sei f:[0,1] in IR stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 10.12.2008 | | Autor: | start |
| Aufgabe | es sei f : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] stetig, und es gelte f(0)=f(1). Zeige:
a) Es gibt ein [mm] x_{2}\in[0,1] [/mm] mit [mm] f(x_{2})=f(x_{2}+\bruch{1}{2})
[/mm]
b) [mm] \forall n\in\IN, n\ge2 \exists x_{n}\in[0,1] [/mm] mit [mm] f(x_{n})=f(x_{n}+\bruch{1}{n}) [/mm] |
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Hallo matheraum.de ;D
die Aufgabe nervt mich gerade tierisch weil ich keinen wirklich ansatz sehe... ich weiß überhaupt nicht wie ich a) angehen sollte.
b) sieht für mich stark nach einem induktionsbeweis aus. kommt das hin?
bin wirklich für jede [mm] hilfe\ansatz [/mm] dankbar :>
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mi 10.12.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo start,
hier erst mal ein Tipp zu a):
Das sieht ganz nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen aus, aber nicht direkt auf f angewendet (das würde nicht helfen, da f(0)=f(1)).
Betrachte vielmehr die Funktion g:[0,1/2] -> [mm] \IR, [/mm] g(x) = f(x+1/2) - f(x). Wenn Du dann g an den Intervallgrenzen betrachtest, die Voraussetzung f(0)=f(1) anwendest und den Zwischenwertsatz (bzw. den Nullstellensatz, der aus dem Zwischenwertsatz folgt) benutzt (Achtung da gibts ein paar Fallunterscheidungen), solltest Du ans Ziel der Aufgabe a) kommen.
Gruß
Uli
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