1. Ableitung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 So 07.11.2004 | | Autor: | AndyM |
[mm] \wurzel[5]{x}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hi
die 5. wurzel aus x kann man anders notiert darstellen als x hoch 1/5.
x hoch ein fünften abgeleitet kriegst du hin ?
PS.: 1/5 * 1/fünfte wurzel aus x hoch 4
lg magister
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 So 07.11.2004 | | Autor: | AndyM |
Hola Senior,
das ging aber prompt! Vielen Dank!
Leider war ich unfähig eine eindeutige Frage zu stellen. Die 1. Ableitung daraus sollte mit der H-Methode gelöst werden:
f´x= [f(Xo+h)-f(Xo) ] / h
Ist das machbar?
Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andy,
> Hola Senior,
> das ging aber prompt! Vielen Dank!
>
> Leider war ich unfähig eine eindeutige Frage zu stellen.
> Die 1. Ableitung daraus sollte mit der H-Methode gelöst
> werden:
> f´x= [f(Xo+h)-f(Xo) ] / h
Mit der h-Methode ist ist mir noch nicht gelungen, aber mit der äquivalenten [mm] $x-x_0$-Methode [/mm] geht es recht einfach:
[mm] $f'(x_0)=\limes_{x\to x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\to x_0} \bruch{\wurzel[5]{x}-\wurzel[5]{x_0}}{x-x_0}$
[/mm]
Nun substituiere ich [mm] $y:=\wurzel[5]{x}$, $y_0:=\wurzel[5]{y_0}$ [/mm] und ich erhalte:
[mm] $=\limes_{y^5\to y_0^5} \bruch{y-y_0}{y^5-y_0^5}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{y^5\to y_0^5} \bruch{1}{\bruch{y^5-y_0^5}{y-y_0}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{\limes_{y^5\to y_0^5} \bruch{y^5-y_0^5}{y-y_0}}$
[/mm]
Jetzt kann man auf [mm] $\bruch{y^5-y_0^5}{y-y_0}$ [/mm]  Polynomdivision anwenden, oder aber erkennen, dass im Nenner (des grossen Bruches) einfach der Differentialquotient von [mm] $g(x)=x^5$ [/mm] steht:
[mm] $=\bruch{1}{\limes_{y^5\to y_0^5} \left(y^4+y^3*y_0+y^2*y_0^2+y*y_0^3+y_0^4\right)}$
[/mm]
resubstituieren
[mm] $=\bruch{1}{\limes_{x\to x_0} \left(\left(\wurzel[5]{x}\right)^4+\left(\wurzel[5]{x}\right)^3*\left(\wurzel[5]{x_0}\right)+\left(\wurzel[5]{x}\right)^2*\left(\wurzel[5]{x_0}\right)^2+\left(\wurzel[5]{x}\right)*\left(\wurzel[5]{x_0}\right)^3+\left(\wurzel[5]{x_0}\right)^4\right)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{\limes_{x\to x_0} \wurzel[5]{x^4}+\wurzel[5]{x^3*x_0}+\wurzel[5]{x^2*x_0^2}+\wurzel[5]{x*x_0^3}+\wurzel[5]{x_0^4}}$
[/mm]
Wegen der Stetigkeit von [mm] $\wurzel[5]{x}$ [/mm] folgt nun:
[mm] $=\bruch{1}{5*\wurzel[5]{x_0^4}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{5}*\bruch{1}{\wurzel[5]{x_0^4}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{5}*x_0^{-\bruch{4}{5}}$
[/mm]
Wie gesagt, eigentlich müßte es wegen der Gleichwertigkeit von h- und [mm] $x_0$-Methode [/mm] möglich sein, dies umzuwandeln, aber ausser zu definieren [mm] $y_0:=\wurzel[5]{x_0}$ [/mm] und [mm] $h:=y^5-y_0^5$ [/mm] (was dann ja die [mm] $x_0$-Methode [/mm] ist) ist es mir nicht gelungen, es umzuschreiben.
Bist du denn sicher, dass die h-Methode gefragt war, oder steht einfach nur "mit dem Differentialquotienten" in der Aufgabe?
Viele Grüße,
Marc
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