1. Frage Ableitungen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Do 02.12.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo ihr Lieben! :)
Ich bearbeite gerade das Thema Differentialrechnung und Ableitungen, zu dem ich nun ein paar Fragen habe (natürlich für jeden einen Thread).
Als erstes habe ich ein Problem mit der Verkettung von Funktionen, wozu ich auch folgende Aufgabe bearbeiten muss:
"Verketten sie die Funktionen f und g, und bestimmen sie dann die Ableitungsfunktion (g°f)´." - Leider verstehe ich diese Thematik trotz verschiedener Zusatzlektüre nicht so recht, weshalb ich auch bei den Aufgaben Schwierigkeiten habe. Ich nenne euch die Aufgaben mal.
1a) f: x-> 5x-1 und g: x-> [mm] x^{2}+2x+1
[/mm]
- So , hier habe ich ersteinmal g(x) vereinfacht zu [mm] (x+1)^2. [/mm] Dann weiss ich leider nicht mehr weiter, nur das ^2 meine Potenz ist. *seufz*
1b) f: x-> 2x+3 und g:x-> [mm] \wurzel{x}
[/mm]
- Diese habe ich gelöst indem ich f(x) und g(x) zu [mm] \wurzel [/mm] {2x+3} verkettet habe und dann die Ableitung (g°f)´= [mm] \bruch{x}{\wurzel{2x+3}} [/mm] errechnet habe. Stimmt dies so?
1c) f: x-> x+1 und g:x-> [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
- Auch hier habe ich nur eine Überlegung, nämlich (g°f)= [mm] \bruch{1}{x+1}
[/mm]
1d) f: x-> [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und g:x-> [mm] x^{2} [/mm] +10
- Auch hier wieder nur eine Vermutung für die Verkettung:
(g°f) = [mm] \bruch{1}{x^{2}+10}
[/mm]
1e) f: x-> [mm] \wurzel{x} [/mm] und g:x-> [mm] \wurzel{x}
[/mm]
- Vielleicht [mm] \wurzel[4]{x}
[/mm]
Wie ihr seht wär es superlieb wenn mir jemand diese Thematik einmal verstänlich erklären könnte, vor allem mit innere und äußere Funktion, da unterschiedliche Bücher mit unterschiedlichen Bezeichnungen einen doch schon sehr verwirren können.
Tausend Dank schon im voraus!!!
Lg Sabrina :)
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> Hallo ihr Lieben! :)
>
> Ich bearbeite gerade das Thema Differentialrechnung und
> Ableitungen, zu dem ich nun ein paar Fragen habe (natürlich
> für jeden einen Thread).
> Als erstes habe ich ein Problem mit der Verkettung von
> Funktionen, wozu ich auch folgende Aufgabe bearbeiten
> muss:
>
> "Verketten sie die Funktionen f und g, und bestimmen sie
> dann die Ableitungsfunktion (g°f)´." - Leider verstehe ich
> diese Thematik trotz verschiedener Zusatzlektüre nicht so
> recht, weshalb ich auch bei den Aufgaben Schwierigkeiten
> habe. Ich nenne euch die Aufgaben mal.
>
> 1a) f: x-> 5x-1 und g: x-> [mm]x^{2}+2x+1
[/mm]
> - So , hier habe ich ersteinmal g(x) vereinfacht zu
> [mm](x+1)^2.[/mm] Dann weiss ich leider nicht mehr weiter, nur das
> ^2 meine Potenz ist. *seufz*
Berechne doch erst g(f(x)) wie in den anderen Aufgaben. [mm] g(f(x))=(5x-1+1)^2=25x^2
[/mm]
>
> 1b) f: x-> 2x+3 und g:x-> [mm]\wurzel{x}
[/mm]
> - Diese habe ich gelöst indem ich f(x) und g(x) zu [mm]\wurzel[/mm]
> {2x+3} verkettet habe und dann die Ableitung (g°f)´=
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{2x+3}}[/mm] errechnet habe. Stimmt dies so?
>
Ja, das stimmt.
> 1c) f: x-> x+1 und g:x-> [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> - Auch hier habe ich nur eine Überlegung, nämlich (g°f)=
> [mm]\bruch{1}{x+1}
[/mm]
>
Ja, und jetzt einfach [mm] \left(\frac{1}{x+1}\right)'=-\frac{1}{(x+1)^2} [/mm] (Quotientenregel)
> 1d) f: x-> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] und g:x-> [mm]x^{2}[/mm] +10
> - Auch hier wieder nur eine Vermutung für die
> Verkettung:
> (g°f) = [mm]\bruch{1}{x^{2}+10}
[/mm]
>
Ja, das stimmt.
> 1e) f: x-> [mm]\wurzel{x}[/mm] und g:x-> [mm]\wurzel{x}
[/mm]
> - Vielleicht [mm]\wurzel[4]{x}
[/mm]
>
Ja, stimmt auch.
> Wie ihr seht wär es superlieb wenn mir jemand diese
> Thematik einmal verstänlich erklären könnte, vor allem mit
> innere und äußere Funktion, da unterschiedliche Bücher mit
> unterschiedlichen Bezeichnungen einen doch schon sehr
> verwirren können.
>
> Tausend Dank schon im voraus!!!
>
> Lg Sabrina :)
>
Hier die Differentiationsregeln:
Kettenregel: [mm] (g\circ f)'(x)=(g(f(x)))'=g'(f(x))*f'(x) [/mm]
Quotientenregel: [mm] \left(\frac{g}{f}\right)'(x)=\left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)'=\frac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{f^2(x)}
[/mm]
Produktregel: [mm](fg)'(x)=(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[/mm]
Hoffe, das hilft dir.
mfg Verena
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