(1/2)(z+(1/z)) Abbildung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:50 Di 11.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Unter der Abbildung [mm] $z\in \IC^{\*} \mapsto [/mm] f(z) = [mm] \frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$ [/mm] werden Kreise um den Nullpunkt auf Ellipsen und vom Nullpunkt ausgehende Strahlen auf Hyperbel-Äste abgebildet.
a) Wie sieht die Abbildung einzelner Kreise bzw. Strahlen auf die entsprechenden Ellipsen bzw. Hyperbeln aus? Ist sie injektiv, subjektiv, 2:1? Gibt es Spezialfälle?
b) Für welche [mm] $z\in \IC^{\*}$ [/mm] gilt $f(z) [mm] \in \IR$? [/mm]
c) Gib möglichst grosse Gebiete an, auf denen f injektiv ist. |
Hallo,
a) Es ist $f(z) = [mm] \frac{1}{2}(z+z^{-1})$ [/mm] und man sieht [mm] $f(\frac{1}{z})=f(z)$, [/mm] es ist $f(z)$ winkeltreu in [mm] $\IC \{-1,0,1\}$. [/mm]
i) Bilder der Kreise: $|z|=r [mm] \Rightarrow \frac{1}{z} [/mm] = [mm] \frac{\overline{z}}{r^{2}}$
[/mm]
[mm] $f(z)=\frac{1}{2}(z+\frac{\overline{z}}{r^{2}}) [/mm] $ und damit $u(x,y)= [mm] \frac{1}{2}(x+\frac{x}{r^{2}}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})\frac{x}{r}$, [/mm]
$v(x,y)= [mm] \frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})\frac{y}{r}$
[/mm]
Mit [mm] $x^{2}+y^{2}=r^{2} \Rightarrow (\frac{x}{r})^{2}+(\frac{y}{r})^{2} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \frac{u^{2}}{\frac{1}{2}(r+r^{-1}))^{2}} [/mm] + [mm] \frac{v^{2}}{\frac{1}{2}(r-r^{-1}))^{2}}=1 [/mm] $, also sind das Ellipsen mit Halbachsen [mm] $\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})$ [/mm] und [mm] |\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})|
[/mm]
Für den Brennpunkt folgt auch: [mm] $\pm [/mm] 1 = [mm] (\frac{1}{2}(r+r^{-1})^{2}-(\frac{1}{2}(r-r^{-1}))^{2}$ [/mm] .
Das ist gleichbedeutend mit [mm] $\frac{u^{2}}{(\frac{x}{r})^{2}}-\frac{v^{2}}{(\frac{y}{r})^{2}} [/mm] = 1 $ , also einer Hyperbel bzw. [mm] $\frac{u^{2}}{cos^{2}\phi} [/mm] - [mm] \frac{v^{2}}{sin^{2}\phi} [/mm] = 1 $
Also liegen die Bilder der Strahlen $argz = [mm] \phi [/mm] $ auf Hyperbeln mit Brennpunkte [mm] $\pm [/mm] 1 $
Injektivität: Sei $f(z)= f(y), $z,y [mm] \in \IC \{-1,0,1\}$. [/mm] Dann ist [mm] $\frac{1}{2}(z+z^{-1})=\frac{1}{2}(y+y^{-1}) \Rightarrow \frac{z^{2}+1}{2z}=\frac{y^{2}+1}{2y}$ [/mm]
Also ist $z=y , [mm] y\ne [/mm] 0$ oder [mm] $y\ne [/mm] 0$ und $z = [mm] \frac{1}{y}$. [/mm] Damit ist f nicht injektiv, aber 2:1. Aber surjektiv.
b) [mm] $f(z)\in \IR$ [/mm] gilt für alle $Re(z)=z $
c) f ist injektiv wenn man sich bei der Reellen Achse auf [mm] $[1,\infty]$ [/mm] und [mm] $[-\infty,-1]$ [/mm] beschränkt. Das sieht man auch an der Umkehrabbildung $w= [mm] z\pm \sqrt{z^{2}-1}$
[/mm]
Ist das so OK?
Danke für jegliche Hilfestellung.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Di 11.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
i) ist richtig, bis auf ne fehlende Klammer vor 1/2 im Nenner.
Spezialfall fehlt !
Bei den Hyperbeln fehlt wohl der Anfang?
b) ist nicht vollständig!
c was heisst da 2:1?
im Rest seh ich keinen Fehler
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:40 Mi 12.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> 2:1
das weiss ich nicht, aber ich vermute dass es sich um den Fall handelt, dass es auf zwei abgebildet wird bzw. 2 Dinge auf eines abbilden , also man beim überprüfen der Injektivität zum Schluss 2 Bedingungen erhält.
> Gruss
Vielen Dank für die Korrektur!!!!!
Gruss
kushkush
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