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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Di 12.10.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo ihr Lieben! :)
Hier nun die 2. Frage, schön in einem eigenen Thread ;)
" Untersuchen Sie die Folge mit dem allgemeinen Glied
an = sin n*pi/2 mit n E N* auf Konvergenz.
Hier stehe ich leider total auf dem Schlauch, da ich auch nicht weiss wie ich hier den Grenzwert berechnen soll, den ich ja zum Beweis brauche, richtig?
Hoffe ihr könnt mir helfen!
Tausend Dank im voraus!!!
Lg, Sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Di 12.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi sabrina
man kann [m] (a_n) [/m] auch anders darstellen. setzt du [m] n = 1, 2, 3, 4 [/m] ein, so erhälst du
[m] a_1 = \sin \frac{\pi}{2} = 1 [/m]
[m] a_2 = \sin \pi = 0 [/m]
[m] a_3 = \sin \frac{3\pi}{2} = -1 [/m]
[m] a_4 = \sin 2\pi = 0[/m]
da der [m] \sin [/m] nun [m] 2 \pi [/m]-periodisch ist gilt:
[m] a_5 = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = a_1 [/m]
[m] a_6 = a_2 [/m]
[m] a_7 = a_3 [/m]
[m] \vdots [/m]
dann lässt sich z.b. mit vollständiger induktion beweisen, dass [m] (a_n) [/m] die gestalt hat:
[m] (a_n) = (1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, \hdots) [/m]
und bei dieser darstellung lässt sich leicht der grenzwert ablesen bzw. man kann sehen, dass es keinen gibt!
hoffe es ist klar geworden, was ich meine, sonst frag einfach nach.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 12.10.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo Andreas :)
Ersteinmal vielen Dank für deine Antwort. Soweit kann ich deine Ausführungen nachvollziehen, jedoch frage ich mich, wie ich den Beweis durch vollständige Induktion darstellen soll ( muss ja dann für a+1 zeigen). Da du ja meintest, das kein Grenzwert exisitiert ( ich glaube es gibt nur 3 Häufungspukte,oder?) würde der Beweis dann nicht aufgehen. Habe bisher jedoch nur Beweise, die aufgingen behandelt. Wäre supernett, wenn du mir da auch weiterhelfen könntest!
DANKE!
Sabrina :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Di 12.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
> Ersteinmal vielen Dank für deine Antwort. Soweit kann ich
> deine Ausführungen nachvollziehen, jedoch frage ich mich,
> wie ich den Beweis durch vollständige Induktion darstellen
> soll ( muss ja dann für a+1 zeigen). Da du ja meintest, das
> kein Grenzwert exisitiert ( ich glaube es gibt nur 3
> Häufungspukte,oder?)
sehr gut.
> würde der Beweis dann nicht aufgehen.
ich meinte eigentlich, dass man mit vollständiger induktion zeigt, dass die folge eben die gestalt $ [mm] (a_n) [/mm] = (1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, [mm] \hdots) [/mm] $ hat, das wäre ja ein beweis der "aufgeht", da die folge ja tatsächlich die vermutete gestalt hat (solange ich oben keinen mist gerechnet habe).
dieser induktionsbeweis würde dann in etwa so aussehen (du machst dabei am einfachsten immer 4er-schritte, da sich alles dachen dann erst wiederholt):
induktionsanfang für [m] n = 1, 2, 3, 4 [/m]:
[m] a_1 = \sin \frac{\pi}{2} = 1 [/m]
[m] a_2 = \sin \pi = 0 [/m]
[m] a_3 = \sin \frac{3\pi}{2} = -1 [/m]
[m] a_4 = \sin 2\pi = 0[/m]
induktionsschritt:
annahme:
sei [m] a_n = \begin{cases} 1 & \text{wenn es ein } k \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \text{ gibt, so dass } n = 4k + 1 \\ 0 & \text{wenn es ein } k \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \text{ gibt, so dass } n = 4k + 2 \text{ oder } n = 4k + 4 \\ -1 & \text{wenn es ein } k \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \text{ gibt, so dass } n = 4k + 3 \end{cases} [/m]
für alle [m] n \leq n_0 [/m] und zeige damit, dass auch der wert von [m] a_{n_0 + 1} [/m] in dieses schema passt. dass ist aber im prinzip nur eine große index schlacht und es taucht dabei auch kein neues argument auf, als oben schon angebracht, daher denke ich es reicht, wenn du die begründung mit der [m] 2 \pi [/m]-periodizität einfach angibst.
grüße
andreas
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