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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Mo 13.02.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1:
Es sei A eine reguläre Matrix. Weiter sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A. Man zeige, dass dann [mm] \lambda \not= [/mm] 0 ist und [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^{-1} [/mm] ist. Weiter zeige man, dass
[mm] Eig_{A}(\lambda) [/mm] = [mm] Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda})
[/mm]
gilt. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2:
Man zeige, dass für eine Matrix A [mm] \in K^{l,m} [/mm] und eine Matrix B [mm] \in K^{m.n} [/mm] stets
ker B [mm] \subset [/mm] ker AB
gilt. |
Hey Leute,
ich stecke gerade mitten in der Klausurvorbereitung und komm einfach auf keine Beweisidee für diese beiden Aufgaben....
Bin schon fast am Verzweifeln.
Wäre froh, wenn mir hier jemand nen Denkanstoß liefern könnte.
mfg s1mn
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Hallo,
> Aufgabe 1:
> Es sei A eine reguläre Matrix.
Was bedeutet das?
> Weiter sei [mm]\lambda[/mm] ein
> Eigenwert von A.
Was bedeutet das?
> Man zeige, dass dann [mm]\lambda \not=[/mm] 0 ist
Nimm an, daß 0 ein Eigenwert ist.
Was bedeutet das?
Wenn A regulär ist, was folgt dann aus Ax=0?
Siehst Du einen Widerspruch?
> und [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm] ein Eigenwert von [mm]A^{-1}[/mm] ist.
Sei [mm] \lambda [/mm] ein EW von A. Was bedeutet das?
Multipliziere mit [mm] A^{-1}. [/mm] Und? Idee?
>Weiter
> zeige man, dass
> [mm]Eig_{A}(\lambda)[/mm] = [mm]Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda})[/mm]
Zeige:
[mm] $Eig_{A}(\lambda)$ \subseteq $Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda})$
[/mm]
und
[mm] Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda})\subseteq Eig_{A}(\lambda)
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Di 14.02.2012 | | Autor: | s1mn |
Ok danke mal für die Tipps Angela :)
"Es sei A eine reguläre Matrix."
Bedeutet: A [mm] \in K^{n,n}, [/mm] rg A = n, A invertierbar.
"Weiter sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A."
Bedeutet: Ax = [mm] \lambda [/mm] x
"Man zeige, dass dann [mm] \lambda \not= [/mm] 0 ist."
Sei [mm] \lambda [/mm] = 0: det(A - 0*E) = det(A) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] somit wäre A nicht regulär, da rg < n ist, oder 2 linear abgängige Vektoren in der Matrix stehn.
'Wenn A regulär ist, was folgt dann aus Ax = 0?'
Ax = 0*x [mm] \gdw [/mm] Ax = 0 [mm] \gdw [/mm] x = [mm] A^{-1}*0 \gdw [/mm] x = 0
Wäre ja 2 mal ein Widerspruch. Da durch die Eigenwerte ja alle Werte von x gefunden werden sollen, die [mm] \not= [/mm] Nullvektor sind.
"und [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^{-1} [/mm] ist."
Ax = [mm] \lambda [/mm] x [mm] \gdw [/mm] x = [mm] A^{-1}\lambda [/mm] x [mm] \gdw \bruch{1}{\lambda} [/mm] x = [mm] A^{-1}x
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{\lambda} [/mm] = Eigenwert von [mm] A^{-1}
[/mm]
Beim letzten Teil bin ich mir da nicht ganz sicher:
[mm] Eig_{A}(\lambda) [/mm] = [mm] Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda})
[/mm]
[mm] "\Rightarrow" [/mm] sei x [mm] \in Eig_{A}(\lambda): [/mm] Ax = [mm] \lambda [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] A^{-1} \lambda [/mm] x [mm] \Rightarrow \bruch{1}{\lambda}x [/mm] = [mm] A^{-1}x
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda})
[/mm]
[mm] "\Leftarrow" [/mm] sei x [mm] \in Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda}): A^{-1}x [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lambda}x \Rightarrow [/mm] x = A [mm] \bruch{1}{\lambda}x \Rightarrow \lambda [/mm] x = Ax
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in Eig_{A}(\lambda)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Gleichheit gilt
[mm] \Box
[/mm]
Passt das so ?
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Hallo,
> Ok danke mal für die Tipps Angela :)
>
> "Es sei A eine reguläre Matrix."
> Bedeutet: A [mm]\in K^{n,n},[/mm] rg A = n, A invertierbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> "Weiter sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von A."
> Bedeutet: Ax = [mm]\lambda[/mm] x
> "Man zeige, dass dann [mm]\lambda \not=[/mm] 0 ist."
> Sei [mm]\lambda[/mm] = 0: det(A - 0*E) = det(A) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> somit wäre A nicht regulär, da rg < n ist, oder 2 linear
> abgängige Vektoren in der Matrix stehn.
Genau, das ist eine Möglichkeit. Du solltest aber noch etwas genauer sagen, woher diese Gleichung kommt, die du zum Widerspruch benutzt. Zum Beispiel:
Angenommen, es gibt einen Eigenwert [mm] $\lambda [/mm] = 0$ von A. Als Eigenwert [mm] ist$\lambda$ [/mm] ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms:
$0 = [mm] \chi^{char}_A (\lambda) [/mm] = [mm] \det(A [/mm] - [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] \det(A).$
[/mm]
> 'Wenn A regulär ist, was folgt dann aus Ax = 0?'
> Ax = 0*x [mm]\gdw[/mm] Ax = 0 [mm]\gdw[/mm] x = [mm]A^{-1}*0 \gdw[/mm] x = 0
> Wäre ja 2 mal ein Widerspruch. Da durch die Eigenwerte ja
> alle Werte von x gefunden werden sollen, die [mm]\not=[/mm]
> Nullvektor sind.
Richtig, solltest es aber noch besser aufschreiben (Wenn du die Voraussetzungen aufschreibst, hilft das dir, um zu akzeptieren, dass du wirklich einen Widerspruch erzeugt hast).
Angenommen es gibt einen Eigenwert [mm] $\lambda [/mm] = 0$ von A, dann muss es (nach Def. von Eigenwert) einen Vektor [mm] $x\not= [/mm] 0$ geben mit $Ax = [mm] \lambda [/mm] x$.
usw.
> "und [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm] ein Eigenwert von [mm]A^{-1}[/mm] ist."
> Ax = [mm]\lambda[/mm] x [mm]\gdw[/mm] x = [mm]A^{-1}\lambda[/mm] x [mm]\gdw \bruch{1}{\lambda}[/mm]
> x = [mm]A^{-1}x[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{\lambda}[/mm] = Eigenwert von [mm]A^{-1}[/mm]
> Beim letzten Teil bin ich mir da nicht ganz sicher:
>
> [mm]Eig_{A}(\lambda)[/mm] = [mm]Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda})[/mm]
> [mm]" \rightarrow"$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" \rightarrow""=""> sei x ![$\in Eig_{A}(\lambda):[/mm] Ax = [mm]\lambda[/mm] x
</font>
<br>
<font class=]() > [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]A^{-1} \lambda[/mm] x [mm]\Rightarrow \bruch{1}{\lambda}x[/mm]
> = [mm]A^{-1}x[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda})[/mm]
> [mm]" \leftarrow"$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" \leftarrow""=""> sei x ![$\in Eig_{A^{-1}}(\bruch{1}{\lambda}): A^{-1}x[/mm]
</font>
<br>
<font class=]() > = [mm]\bruch{1}{\lambda}x \Rightarrow[/mm] x = A [mm]\bruch{1}{\lambda}x \Rightarrow \lambda[/mm]
> x = Ax
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in Eig_{A}(\lambda)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Gleichheit gilt
> [mm]\Box[/mm]
Ja, gut!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 2:
Wenn Bx=0 ist, was ist dann ABx ??????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 14.02.2012 | | Autor: | s1mn |
Gut ker B bedeutet ja: Bx = 0
ker AB bedeutet: ABx = 0
Wenn für Bx = 0 gilt, dann gilt auch für ABx = 0, da man ja einsetzen kann:
ABx = 0 [mm] \gdw [/mm] A*0 = 0
Und somit müsste ker B ne Teilmenge von ker AB sein, da mann in der Gleichung einsetzen kann oder versteh ich das wieder falsch ?^^
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Hallo,
> Gut ker B bedeutet ja: Bx = 0
> ker AB bedeutet: ABx = 0
>
> Wenn für Bx = 0 gilt, dann gilt auch für ABx = 0, da man
> ja einsetzen kann:
>
> ABx = 0 [mm]\gdw[/mm] A*0 = 0
Genau.
> Und somit müsste ker B ne Teilmenge von ker AB sein, da
> mann in der Gleichung einsetzen kann oder versteh ich das
> wieder falsch ?^^
Nein, das ist alles richtig.
Grüße,
Stefan
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