2 Graphen 1 Fläche < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Sa 31.12.2005 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | geg.: [mm] f_{k}(x)=kx^2 [/mm] & [mm] g_{k}(x)=3-\bruch{x^2}{k}
[/mm]
Zeigen Sie das der Inhalt der von Graphen eingeschlossenen Fläche
A(k)=4 [mm] \wurzel{\bruch{3k}{k^2+1}} [/mm] beträgt! |
Hallo liebe Leute und guten Rusch ins neue Jahr.
Also die SChnittpunkte habe ich schon.
Gemeint ist doch hier, dass mann die Stammfunktion finden soll. Oder?
Also die Gleichung heißt
[mm] f_{k}(x)=3-\bruch{x^2}{k}+kx
[/mm]
[mm] \integral {3-\bruch{x^2}{k}+kx^2 dx}
[/mm]
mein Problem ist das ja alle x aus der Lösung verschwunden sind.
und ich weiß auch nicht sorecht wie ich die Stammfunktion finden soll.
ich für jede hilfe dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Deine beiden Funktion sind:
[mm] $f_k(x)=kx^2$ $\wedge$ $g_k(x)=3-\frac{x^2}{k}$
[/mm]
Wenn du den Flächeninhalt berechnen möchtest, dann musst du beiden Funktionen voneinander abziehen und anschließend integrieren, d.h.:
A(k) = [mm] \int 3-\frac{x^2}{k} [/mm] - [mm] kx^2 [/mm] dx
Du integrierst nun laut der Summenregel summandenweise und erhälst:
[mm] \int 3-\frac{x^2}{k} [/mm] - [mm] kx^2 [/mm] dx = [mm] 3x-\frac{x^3}{3k} [/mm] - [mm] \frac{k}{3}x^3 [/mm] +C
Das k dabei behandelst du einfach wie eine Zahl:
Dabei ergibt 3 integriert $3x$ und [mm] $x^2$ [/mm] integriert [mm] $\frac{1}{3}x^3$ [/mm] (Potenzregel)
Hier findest du zudem einige Regeln:
http://www.mathebank.de/tiki-index.php?page=Formeln+Integralrechnung
Anschließend musst du nur noch deine Schnittpunkte einsetzen und den Flächeninhalt in Abhängigkeit von k berechnen.
Welche Schnittpunkte hast du denn?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo hooover!
Die Stammfunktion hat dir Arkus bereits gezeigt. Und die Schnittstellen (= Integrationsgrenzen) erhält man durch Gleichsetzen der beiden Funktionsvorschrig´ften:
[mm] $k*x^2 [/mm] \ = \ 3 - [mm] \bruch{x^2}{k}$
[/mm]
In einer Deiner früheren Fragen wurde die Lösung dieser Gleichung doch bereits einmal genannt:
[mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\bruch{3k}{k^2+1}}$
[/mm]
Aus Symmetriegründen (beide Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse) kannst Du auch vereinfacht folgendes Integral betrachten:
[mm] $A_k [/mm] \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{g_k(x)-f_k(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{2}*\integral_{\red0}^{x_2}{g_k(x)-f_k(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\left[ \ 3x-\bruch{x^3}{3k}+\bruch{k*x^3}{3} \ \right]_0^{+\wurzel{\bruch{3k}{k^2+1}}} [/mm] \ = \ ...$
Nun die Grenzen einsetzen und zusammenfassen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
