2x2 Matrizen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | | Ist die Formel det [mm] \pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] = det A * det D - det B * det C für allgemeine 2x2-Matrizen A,B,C,D korrekt? Wenn ja, führen Sie den Beweis; wenn nein, geben Sie ein Gegenbeispiel. |
Ich würde sagen, die Formel ist korrekt, denn wenn
A = [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }
[/mm]
C = [mm] \pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }
[/mm]
D = [mm] \pmat{ d_{1} & d_{2} \\ d_{3} & d_{4} }
[/mm]
dann ist doch
det [mm] \pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] = det A * det D - det B * det C
[mm] \gdw \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] * [mm] \pmat{ d_{1} & d_{2} \\ d_{3} & d_{4} } [/mm] - [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] * [mm] \pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] * [mm] \pmat{ d_{1} & d_{2} \\ d_{3} & d_{4} } [/mm] - [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] * [mm] \pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} } [/mm]
Das ist allerdings noch lange nicht der Beweis, schätze ich mal... Hat jemand einen Tipp?
|
|
| |
|
Hallo!
Deinen "Beweis" verstehe ich überhaupt nicht...
> det [mm]\pmat{ A & B \\ C & D }[/mm] = det A * det D - det B * det
> C
>
> [mm]\gdw \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm] * [mm]\pmat{ d_{1} & d_{2} \\ d_{3} & d_{4} }[/mm]
> - [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm] * [mm]\pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm] * [mm]\pmat{ d_{1} & d_{2} \\ d_{3} & d_{4} }[/mm]
> - [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm] * [mm]\pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }[/mm]
Was hat das unten stehende mit dem oberen zu tun? Oben steht auf der linken Seite die Determinante einer $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix! Und ob diese mit Hilfe der Unterdeterminanten der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen gebildet werden darf, ist ja gerade die Frage. Wenn Du das einfach machst, ist klar, dass das herauskommt - zumal da noch ein paar Mal das Wörtchen "det" fehlt...
Mal anders gefragt: Wie habt ihr die Determinante definiert? Hattet ihr die Leibnizformel schon? Falls ja, kannst Du vielleicht sehen, dass bei der Variante mit den Untermatrizen zwar gewissen Permutationen auftauchen, aber eben nicht alle.
Und das kann Dir einen Hinweis geben, dass diese Formel im Allgemeinen eben nicht stimmt. Als Gegenbeispiel bietet sich natürlich eines an, das möglichst viele 0en enthält, aber trotzdem eine von 0 verschiedene Determinante hat.
Versuch doch mal, eine $4 [mm] \times [/mm] 4$ Permutationsmatrix anzugeben (also eine, die in jeder Zeile und jeder Spalte genau einen Eintrag gleich 1 hat, der Rest 0), bei der die 4 1en in verschiedenen Untermatrizen stehen und vergleiche, was bei der Formel jeweils herauskommt...
Viel Erfolg!
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Puh okay! Da hatte ich wohl was falsch verstanden.
Dann versuch ichs mal:
Wenn man folgende Matrix nimmt, stimmt die Formel nicht:
det [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 } [/mm] = -1
det [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] * det [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] - det [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] * det [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] -1 [mm] \not= [/mm] 0
Das wäre mein Gegenbeweis! :)
Natürlich würde ich das dann noch ein bisschen ausführlicher hinschreiben. Würde nur gerne kurz wissen, ob man das so machen kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mo 17.11.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Puh okay! Da hatte ich wohl was falsch verstanden.
>
> Dann versuch ichs mal:
>
> Wenn man folgende Matrix nimmt, stimmt die Formel nicht:
>
> det [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }[/mm]
> = -1
>
> det [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] * det [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] -
> det [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] * det [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] =
> 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] -1 [mm]\not=[/mm] 0
>
> Das wäre mein Gegenbeweis! :)
du meinst: Das ist dein Gegenbeispiel!
> Natürlich würde ich das dann noch ein bisschen
> ausführlicher hinschreiben. Würde nur gerne kurz wissen, ob
> man das so machen kann?
Ja, kannst du!
MfG barsch
|
|
|
|
