3 Basen ermitteln < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie 3 Basen von:
< {1, -2, 3}, {3, -3, 2}, {-2, 1, 1}, {4, -5, 5} > |
Hallo,
ich weiß leider nicht wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll. Ich habe bisher immer nur eine Basis ermittelt. Die eine Basis habe ich ermittelt, indem ich den Gauß-Jordan-Algorithmus Typ 1 durchgeführt habe und die Ausgangsvektoren in den ausgezeichneten Spalten ergeben die Basis.
Ist dieses Vorgehen richtig?
Wie kann ich nach diesem Verfahren an die Ermittlung der 3 Basen herangehen?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen...
Vielen, vielen Dank für Eure Mühe!!!
MfG
Kathrin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo! Für mich sieht das auf den ersten Blick so aus, als könnte man einfach alle möglichen Dreierkombinationen aus den Vektoren bilden und hätte dann schon die drei gesuchten Basen. Erzeugendensystem wären sie dann jeweils, weil Dimension des Raumes und Anzahl der Basisvektoren übereinstimmen. Linear abhängig müsstest du noch zeigen. Scheint aber recht eindeutig zu sein.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Fr 04.08.2006 | | Autor: | Barncle |
hmmm.. und wie genau würd ich das jetzt angehen!?
Vor allem wie kann ich das Problem mit dem Gauss-Jordan lösen?
Hab die Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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Hallo!
> hmmm.. und wie genau würd ich das jetzt angehen!?
> Vor allem wie kann ich das Problem mit dem Gauss-Jordan
> lösen?
Also ich würde mir einfach alle Möglichkeiten, von diesen vier Vektoren drei zu nehmen, aussuchen. Dafür gibt es genau vier Möglichkeiten, wenn mich nicht alles täuscht. Diese drei würde ich dann jeweils nebeneinander schreiben, so als Matrix, und dann die Determinante davon berechnen. Wenn sie =0 ist, sind die Vektoren linear abhängig und bilden somit keine Basis. Ansonsten schon. 
Von Gauß-Jordan habe ich leider keine Ahnung, was macht der denn?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Fr 04.08.2006 | | Autor: | statler |
> Bestimmen Sie 3 Basen von:
> < {1, -2, 3}, {3, -3, 2}, {-2, 1, 1}, {4, -5, 5} >
Hallo Kathrin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
erstens erhältst du den 2. Vektor, wenn du den 1. vom 4. abziehst, also kannst du den 2. streichen.
Und wenn [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] eine Basis ist,
dann auch [mm] 2v_{1}, 2v_{2}, 2v_{3} [/mm] usw.
Das ist natürlich nicht gemeint, aber die Fragestellung läßt es zu!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Fr 04.08.2006 | | Autor: | sfry |
Hallo,
Sind a,b,c,d die 4 Vektoren, so gilt
3a-b = 2a+c = 4a-d = (0,-3,7) =: z
mithin
b = 3a-z = a-c = d-a
c = z-2a = a-b = 2a-d
d = 4a-z = a+b = 2a-c
3 Basen (Darstellung der anderen Vektoren siehe oben) sind z.B.
<a,b>, <a,c>, <a,d>
aber auch <b,c>, <b,d> und <c,d> sind weitere Basen.
P.S. Das der aufgespannte Untervektorraum nur 2-dimensional ist
sieht man aus
1 3 -2 4
-2 -3 1 -5 | +2*Gl.1
3 2 1 5 | -3*Gl.1
1 3 -2 4
0 3 -3 3
0 -7 7 -7 | +(7/3)*Gl.2
1 3 -2 4
0 3 -3 3
0 0 0 0
D.h. der Rang der Matrix (a,b,c,d) ist nur 2
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Fr 04.08.2006 | | Autor: | kathrin18 |
Hallo,
vielen Dank für eure Hilfe, ihr habt mir echt super geholfen!!
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