3 X 3 der allg. Dreicksmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Di 05.09.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Bestimme die allg. Form der Inversen einer 3 x 3 unteren Dreiecksmatrix mit normierter Daigonalen von
[mm] D=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1}
[/mm]
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Hallo Leute,
also ich kenne die Formel für die allg. 3X3 MAtrix die hier
![[]](/images/popup.gif) Inverse Matrix
nachzulesen ist.
Wie aber übertrage ich das auf [mm] D=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1}?
[/mm]
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß hooover
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Di 05.09.2006 | | Autor: | hooover |
Hallo Bastiane,
ok das versuchte ich auch schon,
aber woher weißt du das die Determinante = 1 ist?
Wie soll ich mit den ausdrücken z.b.: ei - fh umgehen?
wenn e=1, i=1, f=0, h=c ist
also konkret: multipliziert man die ausdrücke miteinander?
e*i - f*h , 1*1-0*c = 1-0 lass ich das so stehen oder schreibt man nur 1
oder schreibt man die einfach zusammen auf?
1 1 - 0 c
naja das wohl eher nicht, aber bin kenne mich da nicht aus
danke gruß hooover
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Hallo,
es geht darum, den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen. So weit wie möglich bedeutet, dass du irgendwann einen Ausdruck stehen hast, der von einer/mehreren Variablen abhängig ist und nicht weiter auszurechnen ist ohne Annahmen über die Belegung der Variablen zu machen.
In dem konkreten Fall heißt das:
1*1 - 0*c = 0, weil der Ausdruck ja von der Belegung von c unabhängig ist.
Bei 2*3-4*x käme 6-4x heraus, was nicht weiter zu vereinfachen ist.
Nur so am Rande:
Du kannst die Determinante auch durch Entwicklung nach der ersten Zeile oder nach der letzten Spalte entwickeln, falls dir das etwas sagt. Dann siehst du, warum eine Dreiecksmatrix ein Spezialfall ist.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 06.09.2006 | | Autor: | hooover |
Hallo leute,
ich had das mal gemacht,
also
[mm] D=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1}
[/mm]
[mm] D^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ ac-b & -b & 1}
[/mm]
ist das schon fertig oder brauche ich noch die determinante det=1
[mm] D^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1}=\bruch{1}{1(D)}*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ ac-b & -b & 1}
[/mm]
man könnte das auch mit [mm] (D|I)\to(I|D) [/mm] rausbekommen ohne aie allg. Formel für eine 3X3-Matrix zubenutzen.
vielen Dank Gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:30 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi hooover!
da hast du dich vertan... es muss -c heißen, nicht -b
[mm] D^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ ac-b & -c & 1}
[/mm]
natürlich kommst du auch darauf, wenn du nach dem gauß-algorithmus vorgehst! das ist ja auch der normalfall... wer kennt schon diese formel auswendig?! und wenn du nun eine 4x4-matrix hast? dafür gibts keine formel bei wikipedia....
also: wenn du zeit hast und über das internet verfügen kannst, darfst du natürlich gerne solche formeln benutzen, aber zum beispiel in einer prüfung geht das eben nicht. und den gauß-algorithmus kannst du immer verwenden....
und die determinante brauchst du nur, wenn du die allgemeine formel nimmst (und auch nur, wenn sie nicht 1 ist)... sonst, also wenn du das inverse "zu fuß" ausrechnest, brauchst du sie nicht - da kommt mit dem algorithmus alles schon fertig raus...
lieben gruß,
Fulla
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Dann ist es doch ganz einfach: Die Determinante deiner Matrix ist =1 und ansonsten musst du für die bei Wikipedia angegebenen "Buchstaben" einfach deine gegebenen Zahlen einsetzen (z. B. b=c=f=0).
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