3x3.Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Di 04.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Man zeige, dass der Rang der 3x3-Matrix
[mm] \pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ a_{3} & 0 & a_{1} \\ 0 & a_{3} & a_{2} }
[/mm]
über einem Körper K immer gleich 0 oder 2 ist, wie auch immer man die Körperelemente [mm] a_{1},a_{2},a_{3} [/mm] wählt. |
Hallo!
Um zu beweisen, dass der Rang 0 ist, setze man einfach [mm] a_{1},a_{2},a_{3}=0. [/mm] Es entsteht eine Nullmatrix, der Rang ist 0.
Wie gehe ich nun geschickt ran, zu beweisen, dass der Rang ansonsten immer 2 ist?
Liebe Grüße
PS: (bei der 0 handelt es sich um das neutrale Element bzgl. +)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Di 04.11.2008 | | Autor: | blascowitz |
Hallo, also das die Matrix nie Rang 3 hat, kann man mit der Determinante ausschließen. Rechne die Mal aus. Was erhälst du und was schlussfolgerst man dann? Was man jetzt noch ausschließen muss ich das die Matrix für beliebige Körperelement Rang 1 haben kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 04.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
wir haben die Determinanten noch nicht behandelt, deshalb kann und darf ich es nicht benutzen :/
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Hallo SirSmoke,
> wir haben die Determinanten noch nicht behandelt, deshalb
> kann und darf ich es nicht benutzen :/
Na, aber den Gaußalgorithmus hattet ihr aber, oder?
Dann bringe mal die Matrix in Zeilenstufenform, denke daran, dass du 3 erlaubte Typen von elementaren Zeilenumformungen benutzen darfst ...
Das liefert dir im Verlaufe der Rechnung nötige Fallunterscheidungen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 04.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
ja den Gaußalgorithmus kenne ich natürlich ... nur bereitet mir die 0 (also das neutrale Element) gerade Kopfschmerzen ... ich weiß nicht wie es sich bei der Rechnerei verhält ... wahrscheinlich stell ich mich mal wieder viel zu blöd an ...![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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> ja den Gaußalgorithmus kenne ich natürlich ... nur bereitet
> mir die 0 (also das neutrale Element) gerade Kopfschmerzen
> ... ich weiß nicht wie es sich bei der Rechnerei verhält
Hallo,
im wesentlichen so wie beim Rechnen in den reellen Zahlen.
Du mußt halt dran denken, daß Du die Null nicht invertieren kannst.
Gruß v. Angela
> ... wahrscheinlich stell ich mich mal wieder viel zu blöd
> an ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mi 05.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
irgendwie komme ich auf nichts vernünftiges :(
kann mir irgendjemand bitte Ansätze geben? Wäre sehr nett ...
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Schau mal hier nach :
http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus
grüsse
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> http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus
Hallo,
was planst Du denn mit der Determinante?
Weil: einfach die Det auszurechnen liefert ja nur die Information ob invertierbar oder nicht. Über den Rang wissen wir da erstmal nichts.
Gruß v. Angela
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> irgendwie komme ich auf nichts vernünftiges :(
> kann mir irgendjemand bitte Ansätze geben? Wäre sehr nett
> ...
Hallo,
die Ansätze sollen eigentlich von Dir kommen.
Vielleicht zeigst Du mal, was Du gemacht hast. Wie sieht das aus, wenn Du nichts Vernünftiges bekommst?.
Wie hast Du den Gaußalgorithmus durchgeführt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 05.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
mein problem ist, dass ich keinen vernünftigen anfang finde ...
ich will es ja in dreiecksform bringen ... ja nur sehe ich leider nichts, mit dem ich das [mm] a_{3} [/mm] zu 0 bekommen kann ... wenn ich es mit nem multiplikativen Inversen multiplizieren würde, bekäme ich ja 1 raus ... also bringt es mir auch nichts ... Ich finde einfach keinen Anfang ...deswegen wäre ich um einen Ansatz oder weitere Tipps sehr erfreut :)
Meine Ansätze hören eben dadurch meist nach dem ersten Schritt wieder auf, weil ich dann merk "Hups, das geht ja gar nich so wie ich mir das vorstelle"
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> mein problem ist, dass ich keinen vernünftigen anfang finde
> ...
> ich will es ja in dreiecksform bringen ... ja nur sehe ich
> leider nichts, mit dem ich das [mm]a_{3}[/mm] zu 0 bekommen kann ...
> wenn ich es mit nem multiplikativen Inversen multiplizieren
> würde, bekäme ich ja 1 raus ...
Hallo, das wäre doch ein schöner Anfang. Du mußt dann notieren für [mm] a_3\not=0 [/mm] und den Fall [mm] a_3=0 [/mm] später untersuchen.
Wenn Du in der zweiten Zeile als führendes Element 'ne 1 hast, kannst Du es doch danach zu 0 bekomen, indem Du zu einem passenden Vielfachen davon die erste Zeile addierst.
Genau wie mit Zahlen!.
> nichts ... Ich finde einfach keinen Anfang ...deswegen wäre
> ich um einen Ansatz oder weitere Tipps sehr erfreut :)
> Meine Ansätze hören eben dadurch meist nach dem ersten
> Schritt wieder auf, weil ich dann merk "Hups, das geht ja
> gar nich so wie ich mir das vorstelle"
Manchmal muß man einfach weitermachen. Du hast es doch nicht übel eingefädelt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 05.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Ich glaube jetzt ist das hier passiert ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
[mm] \pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ a_{3} & 0 & a_{1} \\ 0 & a_{3} & a_{2} }
[/mm]
--> 2. Zeile mit [mm] \bruch{1}{a_{3}} [/mm] multiplizieren
[mm] \pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ 1 & 0 & \bruch{a_{1}}{a_{3}} \\ 0 & a_{3} & a_{2} }
[/mm]
--> 2. Zeile mit [mm] a_{2} [/mm] multiplizieren und dann die 1. Zeile abziehen
[mm] \pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ 0 & a_{1} & \bruch{a_{1}*a_{2}}{a_{3}} \\ 0 & a_{3} & a_{2} }
[/mm]
--> 3. Zeile mit [mm] \bruch{1}{a_{3}} [/mm] multiplizieren
[mm] \pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ 0 & a_{1} & \bruch{a_{1}*a_{2}}{a_{3}} \\ 0 & 1 & \bruch{a_{2}}{a_{3}} }
[/mm]
--> 3. Zeile mit [mm] a_{1} [/mm] multiplizieren und die 2. Zeile abziehen
[mm] \pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ 0 & a_{1} & \bruch{a_{1}*a_{2}}{a_{3}} \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Fertig?
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> Ich glaube jetzt ist das hier passiert
Hallo,
ja, das sieht mir auch so aus.
Ich würde das nicht als Bruch schreiben, sondern immer mit "hoch minus eins", denn ich denke, daß Ihr für allgemeine Körper keine Brüche definiert habt.
>
> [mm]\pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ a_{3} & 0 & a_{1} \\ 0 & a_{3} & a_{2} }[/mm]
> für [mm] \red{ a_3\not=0}
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ 1 & 0 & \bruch{a_{1}}{a_{3}} \\ 0 & a_{3} & a_{2} }[/mm]
>
> --> 2. Zeile mit [mm]a_{2}[/mm] multiplizieren und dann die 1. Zeile
> abziehen
für [mm] \red{a_2\not=0}, [/mm] sonst bringst Du u.U. die zweite Zeile zum Verschwinden und hast zweimal die erste dastehen.
>
> [mm]\pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ 0 & a_{1} & \bruch{a_{1}*a_{2}}{a_{3}} \\ 0 & a_{3} & a_{2} }[/mm]
>
> --> 3. Zeile mit [mm]\bruch{1}{a_{3}}[/mm] multiplizieren
>
> [mm]\pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ 0 & a_{1} & \bruch{a_{1}*a_{2}}{a_{3}} \\ 0 & 1 & \bruch{a_{2}}{a_{3}} }[/mm]
>
> --> 3. Zeile mit [mm]a_{1}[/mm] multiplizieren und die 2. Zeile
> abziehen
s.o.
>
> [mm]\pmat{ a_{2} & -a_{1} & 0 \\ 0 & a_{1} & \bruch{a_{1}*a_{2}}{a_{3}} \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Fertig?
Jetzt beginnt die Untersuchung des Ranges. Welchen Rang kann die Matrix haben?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 05.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
erstmal wieder vielen Dank für deine Mühen und deine Geduld angela :)
Wenn [mm] a_{1},a_{2},a_{3}=0, [/mm] dann ist der Rang der Matrix 0.
Wenn [mm] a_{1},a_{2},a_{3}\not=0 [/mm] dann ist der Rang der Matrix 2, da die beiden Spaltenvektoren l.u. sind
Damit wäre die Aufgabe dann gelöst oder?
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> Wenn [mm]a_{1},a_{2},a_{3}=0,[/mm] dann ist der Rang der Matrix 0.
Hallo,
es könnten ja auch zwei =0 sein und der andere [mm] \not=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 05.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
ok ... wenn [mm] a_{2},a_{3}=0 [/mm] dann ist der Rang der Matrix 0
Ansonsten ist der Rang 2.
Stimmt es nun ;) ?
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Wenn [mm] a_{2}=a_{3}=0 [/mm] und [mm] a_{1}\not=0, [/mm] schau dir mal die Ausgangsmatrix an. Welchen Rang hat die dann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 05.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
die hat dann den rang 2
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> die hat dann den rang 2
Hallo,
ja.
Und in diesem Stil mußt Du die möglichen Kombinationen von Null und Nichtnull durchschauen, es sei denn, Du findest eine Begründung, mit der Du alles auf einmal erschlägst - aber die Untersuchung mit den Nullen geht ja blitzschnell.
Gruß v. Angela
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