4 Variablen brauchen Hilfe < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 So 17.02.2008 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Gibt es für die Variablen a. b, c und d Zahlen, sodass g: x vektor=(1/a/2)+r(b/3/4), h:x vektor = (c/0/3)+s(3/1/d)
a) identisch sind, b) zueinander parallel und verschieden sind, c) sich schneiden, d) zueinander windschief sind? |
Anregungen und Hilfen sind erwünscht ...ein gewisses vorwissen besteht nur die korrekte ausführung dieser aufgabe wäre interessant zu wissen  Vielen dank!
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Hallo Rudy,
das Problem bei dieser Aufgabe ist eigentlich sich erstmal klar zu machen was die einzelnen Aussagen eigentlich in Bezug auf deine beiden Geraden bedeuten:
a) identisch. Damit die beiden Geraden identisch sind muss offensichtlich g = h gelten.
Das heißt erstens daß die beiden Richtungsvektoren,
[mm] \vektor{b \\ 3 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ d} [/mm] gleich, oder vielfache voneinander sein müssen. Die Frage ist also: Gibt es b und d, so dass
[mm] \vektor{b \\ 3 \\ 4} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{3 \\ 1 \\ d} [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
Und zweitens, dass der Aufpunkt der jeweils einen Gerade sich auf der anderen Gerade befindet. Im Grunde sucht man also a,b,c,d so dass g=h, wobei du einmal s und einmal r gleich 0 setzen kannst.
b) parallel. In diesem Fall sollen die Geraden zwar nicht zwangsweise aufeinanderliegen, allerdings zumindest die gleiche Richtung haben. Das ist wieder gegeben wenn Bedingung 1 von Fall a) zutrifft (Fall a ist ja auch nur ein Spezialfall von b!).
Die Frage lautet also erneut: Gibt es b und d, so dass
[mm] \vektor{b \\ 3 \\ 4} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{3 \\ 1 \\ d} [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
c) Windschief. Im Grunde genau der Fall in dem die Parallelität nicht gegeben ist. Findet man also kein b und d derart, dass die Aussagen von Fall b) zutreffen, dann stehen die Geraden windschief zueinander.
/e: Hab ich eben vergessen: Außerdem muss für Windschief zutreffen das sich die beiden Geraden nicht schneiden. Es darf also für g = h keinen Schnittpunkt geben.
Noch kurz generell:
1) Verwendung des Formelsystems erhöht die Lesbarkeit!
2) Mach doch bitte nächstes mal klarer was du mit "gewisses Vorwissen" meinst. Eventuell habe ich gerade jede Menge geschrieben was du schon weist, damit ist dann weder mir noch dir geholfen. Ich habe dir jetzt aufgeschrieben wie man die Aufgabe zu verstehen und anzugehen hat, lösen musst du sie aber selber!
3) Ich freue mich über Feedback (Hilfreich/Unklar/Gar nicht das was ich wissen wollte).
Viele Grüße,
Jörg
/e: Fehler in der Formel ausgebessert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 So 17.02.2008 | | Autor: | Rudy |
okay also mein vorwissen: bei einer linearen abhängigkeit müssen die richtungsvektoren von einander abhängig sein, d.h. vielfache voneinander. Dies wäre der Fall, wenn
b=9
d=4/3
wäre. Jetzt wäre zu überlegen ob die Geraden identisch oder parallel sind. Im LGS käme nun
r=2/9
s=-1/3
a=-1
c=2
heraus. Wenn man die Variabeln nun einsetzt so tritt der Fall ei, dass keine lineare Abhängigkeit gegebn ist, sprich parallel.
?? Bitte um Antwort bzw. Frage ob die genannten Ergebnisse stimmig sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 So 17.02.2008 | | Autor: | Joerg_G. |
Falscher Ort. Komme mit der Threadstruktur dieses Forums noch nicht so gut klar. Antwort siehe unten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 So 17.02.2008 | | Autor: | UndIch |
Es ist natürlich ein bisschen schwierig, wenn man nicht genau weiß wie weit deine Vorkenntnisse reichen.
Also ich denke am besten überlegst du oder schaust nochmal nach, wie die Lagebeziehung zweier Geraden (weil nichts anderes sind g und h) aussehen können und wie sich der Richtungs- und Stützvektor der Geraden dabei zueinander verhalten.
Normalerweise solltest du das in jedem besseren Mathebuch finden, ansonsten bemühe mal Google unter dem Stichwort "Lagebeziehung zweier Geraden".
Wenn du nicht zurecht kommst, frag einfach nochmal nach :)
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:15 So 17.02.2008 | | Autor: | Joerg_G. |
/e: ACHTUNG: Das hier sollte natürlich KEINE Korrekturmitteilung zu Unichs Antwort werden, sondern lediglich eine Antwort zu Rudys 2ter Frage. Leider lässt mich das Forum meinen Verklicker jetzt nicht mehr korrigieren =/.
Hallo Rudy,
die Richtungsvektoren stimmen mit
b=9
d=4/3
auf jeden Fall schonmal. Damit weißt du bereits, daß die beiden Gerade parallel sind.
Bei der Bestimmung ob identisch oder nicht ist dir aber mMn ein Fehler unterlaufen, ich nehme an dein Lösungsgleichungssystem (LGS) stimmt nicht, deswegen hier ein bisschen ausführlicher:
Was man für die Identität ja jetzt noch wissen will, ist ob der Aufpunkt der Gerade g auf der Gerade h liegt (eines langt Normalerweise, es auch andersrum zu machen ist aber zwecks Probe recht sinnvoll!)
Ich betrachte jetzt den Fall g = Aufpunkt h, mach doch zur Probe noch den anderen Fall Aufpunkt g = h , dann wirst du (anhand des c) sehen das es hinhaut!
(Die Vorraussetzung des Parallellität b=9 musst du hier beachten!)
[mm] \vektor{ 1 \\ a \\ 2} [/mm] + r [mm] \vektor{9 \\ 3 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{c \\ 0 \\ 3}
[/mm]
Daraus kannst du dir ja jetzt ein LGS aufstellen, so dass:
1 + 9r = c
a + 3r = 0
2 + 4r = 3 ---> r = 1/4
--> a = -3/4
--> c = 13/4
Für a= -3/4, c= 13/4, b= 9 und d= 4/3 erreichst du für die beiden Geraden also Identität!
Hoffe das hilft dir.
Viele Grüße,
Jörg
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:40 So 17.02.2008 | | Autor: | Rudy |
Danke schön! weiß genau wo der Fehler lag, hab nämlich beim gleichsetzen nich den Stützvektor alleine betrachtet, sondern die gesamte Gerade H: x vektor. Die Frage zur Parallelität wäre somit gelöst. Nun bleibt offen wie ich begründen kann, dass der Fall "identisch " auszuschliessen ist. Außerdem muss noch geprüft werden wie das Verhalten bei linearer Unabhängigkeit verläuft. Hierbei hab ich das Vorwissen dass b und d nicht 9 bzw. 4/3 sein dürfen. also kann ich eine beliebige Zahle wählen.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:26 So 17.02.2008 | | Autor: | Joerg_G. |
Hallo Rudy,
leider hab ich es geschafft die Threadstruktur aus ihren Fugen zu brechen -.-, bin diese Art Foren nicht gewöhnt. Um die Chronologie zu wahren hier meine Antwort auf deinen 3ten post:
Wenn die Geraden nur echt parallel (also nicht identisch) sein dürfen, dann reicht es einfach genau den Fall auszuschließen in dem der Aufpunkt von h auf g liegt und andersrum. Man würde also sagen g und h sind echt parallel wenn:
b=9
d=4/3
und c [mm] \not= [/mm] 13/4
oder
b=9
d=4/3
und a [mm] \not= [/mm] -3/4
Beachte das es reicht eine der beiden Auszuschließen (a oder c), weil natürlich dadurch das der Aufpunkt von h nicht auf g liegt bereits impliziert wird das g [mm] \not= [/mm] h und, wie immer, auch andersherum.
Ebenso musst du vorsichtig sein bei dem Fall "Windschief". Denn es muss NICHT d [mm] \not= [/mm] 4/3 UND b [mm] \not= [/mm] 9 gelten, die Gleichung aus a) ist ja bereits dann nicht mehr erfüllt wenn nur eines der beiden nicht gilt (das ist in dieser Aufgabe egal, aber generell wichtig).
Windschief in diesem Fall zu zeigen ist dann nicht mehr schwer, immerhin wirst du ja nicht nach allen Lösungen gefragt, sondern nur danach ob es die Möglichkeit darauf gibt.
Wie du schon richtig erkannt hast, macht man sich erstmal die Parallelität zunichte. Am liebsten natürlich mit möglichst einfachen b und d, zum Beispiel b=d=0.
Denn mit [mm] \vektor{ 0 \\3\\4} \not= \lambda \vektor{3 \\ 1 \\ 0} [/mm] hat sich die Parallelität natürlich gegessen.
Dann stellt man wieder sein Gleichungssystem auf mit g=h und muss jetzt nur noch nachschauen ob a und c derart existieren das sich die beiden Geraden nicht schneiden. Das solltest du alleine auch hinbekommen!
Viele Grüße,
Jörg
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(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 18:24 So 17.02.2008 | | Autor: | Rudy |
Vielen Dank für die Hilfe!!! Ich werde prüfen welche Fälle es bei windschief bzw schnittpunkten geben kann.. ;-(
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