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| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf ein Intervall über dem die Lösung der AWA mind existiert
[mm] y'(x)=(x^2+y^2(x))exp(1-x^2-y^2(x)),
[/mm]
y(0)=0 |
Hallo zusammen,
ich versuche grade diese Aufgabe zu bearbeiten aber ich komme nicht weiter
Allgemein gehalten:
habe zuerst das Gebiet festgelegt: [mm] G=\IR^2
[/mm]
dann wollte ich überprüfen ob f auf G die Lipschitz-Bedingung erfüllt
Seien [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] und [mm] \vektor{x \\ z} \in [/mm] G beliebig
|f(x,y) -f(x,z)| = [mm] |\bruch{df}{dy}(x,c)|*|y-z|
[/mm]
nun soll man wohl prüfen ob
[mm] \bruch{df}{dy}(x,c) [/mm] <M auf G
wollte jetzt [mm] \bruch{df}{dy} [/mm] bestimmt aber hier komme ich nicht weiter...wie kann ich denn [mm] \bruch{df(x,y)}{dy}= \bruch{d(x^2+y^2(x))exp(1-x^2-y^2(x)}{dy} [/mm] bestimmen?
wäre für einen tipp dankbar!
gruß,
kekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf ein
> Intervall über dem die Lösung der AWA mind existiert
> [mm]y'(x)=(x^2+y^2(x))exp(1-x^2-y^2(x)),[/mm]
> y(0)=0
> Hallo zusammen,
>
> ich versuche grade diese Aufgabe zu bearbeiten aber ich
> komme nicht weiter
>
> Allgemein gehalten:
> habe zuerst das Gebiet festgelegt: [mm]G=\IR^2[/mm]
> dann wollte ich überprüfen ob f auf G die
> Lipschitz-Bedingung erfüllt
>
> Seien [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] und [mm]\vektor{x \\ z} \in[/mm] G beliebig
>
> |f(x,y) -f(x,z)| = [mm]|\bruch{df}{dy}(x,c)|*|y-z|[/mm]
>
> nun soll man wohl prüfen ob
> [mm]\bruch{df}{dy}(x,c)[/mm] <M auf G
>
> wollte jetzt [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] bestimmt aber hier komme ich
> nicht weiter...wie kann ich denn [mm]\bruch{df(x,y)}{dy}= \bruch{d(x^2+y^2(x))exp(1-x^2-y^2(x)}{dy}[/mm]
> bestimmen?
Hier ist doch:
[mm]f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+y^{2}\right)*e^{1-x^{2}-y^{2}}[/mm]
Jetzt kannst Du partiell nach y differenzieren.
> wäre für einen tipp dankbar!
>
> gruß,
> kekschen
Gruss
MathePower
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danke schonmal
aber irgendwie versteh ich das mit dem partiellen differenzieren noch nicht so denn ich weiß einfach nicht wie ich dann auf
[mm] exp(1-x^2-y^2)(x^2y^2+x^2)(-2yy'-2x)+exp(1-x^2-y^2)(2x^2yy'+2xy^2+2x) [/mm] komme..kann mir das vllt jemand erklären?
gruß
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Hallo Kampfkekschen,
> danke schonmal
> aber irgendwie versteh ich das mit dem partiellen
> differenzieren noch nicht so denn ich weiß einfach nicht
> wie ich dann auf
>
> [mm]exp(1-x^2-y^2)(x^2y^2+x^2)(-2yy'-2x)+exp(1-x^2-y^2)(2x^2yy'+2xy^2+2x)[/mm]
> komme..kann mir das vllt jemand erklären?
Hier ist [mm]f\left(x, \ y\left(x\right) \ \right)[/mm] mit Hilfe
der verallgemeinerten Kettenregel nach x differenziert worden.
>
> gruß
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mi 23.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Bei dieser Aufgabe genügt doch schon der Existenzsatz von Peano !
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Peano
FRED
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