A(x) f(kx) , n(kx) t(kx) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 14.03.2005 | | Autor: | outkast |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich am Schluss nicht weiter komme.
Folgendes:
Gegeben ist eine Funktionenschar {f(k)| f(k,X)=((e^(kx))/x und k>0}
a) Ermittle den Punkt P(k) von f(k,x) in dem eine Tangent vorliegt.
-bei einer Tangente ist die steigung also f'(kx) = 0
-mein Ergebnis -> P(k) (1/k | ek)
b) Leite die Gleichung des Graphen g her, deren Graph die Punktmenge
{Pk } ist
-mein Ergebnis-> y=e/x
c) für welches k hat Pk den geringsten Abstand von O (0|0). Berechne ihn!
-mein Ergebnis-> wenn [mm] \limes_{k\rightarrow\0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
-und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\infty}{x}
[/mm]
-wenn k gegen 0 geht hat f(kx) den geringsten Wert
d) untersuche f1(x). Bestimme die Vorzeichenfelder für f'1(x) und f''1(x).
Welche Aussage ergibt sich hierraus? für [mm] {n\rightarrow\infty}. [/mm] Zeichnung
-mein Ergebnis f'1(x) =1 und f''1(x)=1
Nun zum eigentlichen Problem
e) Bestimme die Gleichung der von O an G gelegten Tankgente t(kx)
-mein Ergebnis t(kx)= 0
aber ist das richtig?
f) tk bildet mit der Normalen nk in den betreffenden Berührpunkt und der X-Achse ein Dreieck, dessen Fläche A(k) von k abhängig ist. Ermittle A(k) und die untere Grenze von A(k). Schreibe die letztere als Funktionswert von A(k)
- hier habe ich für die normale n(kx)=0 herraus, allerdings wird doch hiermit kein Dreieck eingeschlossen.
Oder habe ich da nur einen Denkfehler drinnen?
Bin für jede nützliche Hilfe dankbar.
Mfg Outkast
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, outkast,
>
> Folgendes:
> Gegeben ist eine Funktionenschar {f(k)| f(k,X)=((e^(kx))/x
> und k>0}
>
> a) Ermittle den Punkt P(k) von f(k,x) in dem eine Tangent
> vorliegt.
Du meinst wohl "waagrechte Tangente", weil : Tangente gibt's in jedem Kurvenpunkt (außer x=0).
> -bei einer Tangente ist die steigung also f'(kx) = 0
> -mein Ergebnis -> P(k) (1/k | ek)
Richtig!
> b) Leite die Gleichung des Graphen g her, deren Graph die
> Punktmenge
> {Pk } ist
> -mein Ergebnis-> y=e/x
Richtig. Und: Definitionsmenge: x>0, da k>0 laut Vorgabe!
> c) für welches k hat Pk den geringsten Abstand von O (0|0).
> Berechne ihn!
> -mein Ergebnis-> wenn [mm]\limes_{k\rightarrow\0}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x}
[/mm]
> -und [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{\infty}{x}
[/mm]
> -wenn k gegen 0 geht hat f(kx) den geringsten Wert
Seltsame Lösung. (Wer bringt Euch denn sowas bei??!!)
Der Abstand d 2er Punkte, hier O und Pk, wird berechnet mit Hilfe des Pythagoras: [mm] d=\wurzel{(\bruch{1}{k})^{2}+(ek)^{2}}
[/mm]
Dieser Wert ist dann am kleinsten, wenn der Radikand [mm] r(k)=(\bruch{1}{k})^{2}+(ek)^{2} [/mm] am kleinsten ist. Dies berechnet man mit Hilfe der 1.Ableitung, die =0 gesetzt werden muss: [mm] -2*k^{-3}+2e^{2}*k=0;
[/mm]
Daraus berechne ich (nachrechnen!) wegen k>0 nur den Wert: [mm] k=\wurzel{\bruch{1}{e}}
[/mm]
Den kleinstmöglichen Abstand kannst Du nun ja selbst berechnen.
>
> d) untersuche f1(x). Bestimme die Vorzeichenfelder für
> f'1(x) und f''1(x).
> Welche Aussage ergibt sich hierraus? für
> [mm]{n\rightarrow\infty}.[/mm] Zeichnung
> -mein Ergebnis f'1(x) =1 und f''1(x)=1
Inwiefern hast Du hier "Vorzeichenfelder" berechnet?!
Für f' sind [mm] e^{kx} [/mm] und der Nenner [mm] x^{2} [/mm] postiv. Daher ändert sich das Vorzeichen von f' nur durch die Klammer (kx-1).
Diese ist negativ links von [mm] \bruch{1}{k}, [/mm] positiv rechts davon.
Für f'' geht das analog, allerdings musst Du da auch den Nenner [mm] (x^{3}) [/mm] berücksichtigen!
Welche Aussage ergibt sich? Nun: Damit ist das Monotonieverhalten (f'(x)>0 echt mon. zunehmend, f'(x)<0 echt mon. abnehmend) , sowie (bei f'') das Krümmungsverhalten des Graphen von f gemeint!!
>
> Nun zum eigentlichen Problem
Huii! Die drübern Aufgaben hältst Du also für "keine größeren Probleme"?
> e) Bestimme die Gleichung der von O an G gelegten
> Tankgente t(kx)
> -mein Ergebnis t(kx)= 0
> aber ist das richtig?
Dann wäre diese Tangente die x-Achse selbst! Zumindest aber wäre die Steigung =0 und laut Aufgabe a) ist der einzige Punkt, in dem die Steigung =0 ist, der Punkt P. Deine Lösung stimmt demnach nicht.
Pass auf: ich helfe Dir:
Die Gerade durch die Punkte O und P(x; f(x)) (wobei P der gesuchte Punkt auf dem Graphen von fk ist) hat einerseits die Steigung m= [mm] \bruch{f(x)-0}{x-0}, [/mm] andererseits (als Tangente im Punkt P) die Steigung m=f'(x). Setze beides gleich und Du erhältst (hoffentlich) die x-Koordinate von P, woraus Du die gesuchte Tangente ermitteln kannst!
>
> f) tk bildet mit der Normalen nk in den betreffenden
> Berührpunkt und der X-Achse ein Dreieck, dessen Fläche A(k)
> von k abhängig ist. Ermittle A(k) und die untere Grenze von
> A(k). Schreibe die letztere als Funktionswert von A(k)
>
> - hier habe ich für die normale n(kx)=0 herraus, allerdings
> wird doch hiermit kein Dreieck eingeschlossen.
> Oder habe ich da nur einen Denkfehler drinnen?
>
Puuuhhh! Eigentlich möcht' ich jetzt mal 'ne Pause machen!
Vielleicht hilft Dir wer anderer weiter!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Di 15.03.2005 | | Autor: | outkast |
Schön so schnell Hilfe zu erhalten.
ich habe Aufgabe c) noch mal überprüft und nachgerechnet und k= [mm] \wurzel{\bruch{1}{e}} [/mm] herrausbekommen -> P(e|1)
der Abstand beträgt 2,896 LE
bei Aufgabe d) habe ich meine Vorzeichenfelder erstellt und den Graphen für k=1 gezeichnet
das leuchtet mir bis jetzt ein
nur bei Aufgaben e) und f) schweben noch zahlreiche Fragezeichen in meinem Kopf
habe aus meiner Formelsammlung die Tangentengleichung genommen t(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x)
für f'(kx) erhalte ich [mm] \bruch{e^{kx}*(kx-1)}{x^{2}}
[/mm]
für x0 habe ich 0 eingesetzt da ja O(0|0) ist...
=> in meine t(x) Formel eingesetzt erhalte ich dann [mm] t(kx)=ke^{kx}
[/mm]
ebenfalls ist mir unklar wie der Berührpunkt berechnet wird bzw. wurde.
und für die Normale erhalte ich nach meiner Formel [mm] n(x)=\bruch{-1}{f'(x)}*(x-x0) [/mm] + f(x0)
als Ergebnis n(kx)= [mm] \bruch{(k-1)*e^{kx}}{(kx-1)}
[/mm]
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Di 15.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo> Schön so schnell Hilfe zu erhalten.
>
> habe aus meiner Formelsammlung die Tangentengleichung
> genommen t(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x)
Falsch! Du muesstest sehen, dass das keine Gerade ist sondern eine Funktion.
richtig ist t(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0)
> für f'(kx) erhalte ich [mm]\bruch{e^{kx}*(kx-1)}{x^{2}}
[/mm]
> für x0 habe ich 0 eingesetzt da ja O(0|0) ist...
FALSCH! x0 ist der Punkt auf der Kurve! t(x) ist die Tangente an irgendeinem Punkt x0 der Kurve. Du musst x0 so bestimmen,dass t(x), d.h. die Gerade y==f'(x0)(x-x0)+f(x0) durch 0,0 geht d.h. xo aus
0=f'(x0)(0-x0)+f(x0) bestimmen.
>
> => in meine t(x) Formel eingesetzt erhalte ich dann
> [mm]t(kx)=ke^{kx}
Hier solltest du wieder sehen, dass das keine Gerade ist.
[/mm]
>
> ebenfalls ist mir unklar wie der Berührpunkt berechnet wird
> bzw. wurde.
>
> und für die Normale erhalte ich nach meiner Formel
> [mm]n(x)=\bruch{-1}{f'(x)}*(x-x0)[/mm] + f(x0)
> als Ergebnis n(kx)= [mm]\bruch{(k-1)*e^{kx}}{(kx-1)}
[/mm]
Wieder keine Gerade! Wenn du wie oben die Tangente berechnet hast, kennst du ja den Beruehrpkt und kannst mit Pkt.- Steigungsform die Normale ausrechnen.
Gruss leduart
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Hallo outkast,
warum gehst du auf meine Lösungsvorschläge nicht ein?
Ich hatte dir fast alles vorgerechnet!
Ist etwas unklar geblieben? Dann frag einfach nach!
Noch einmal deutlich:
die allg. Gleichung einer Tangenten an einen Funktionsgraph lautet:
$t(x) = [mm] f'(x_0)(x-x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)$
[/mm]
Dabei ist B [mm] $(x_0|f(x_0)$ [/mm] der Berührpunkt der Tangente an den Graphen.
Wenn die Tangente durch einen anderen Punkt P [mm] $(x_1|y_1)$ [/mm] verlaufen soll,
kann man setzen: $t(x) = [mm] f'(x_0)(x-x_1) [/mm] + [mm] y_1$
[/mm]
es bleibt bei der Steigung [mm] $f'(x_0)$ [/mm] des Berührpunkts!
Dies kam bei deiner Aufgabe in Betracht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Di 15.03.2005 | | Autor: | outkast |
Meine Ergebnisse für Aufgabe
e) Tangente:
t(x)= [mm] \bruch{e^{2}k^{2}}{4}*X
[/mm]
Berührpunkt [mm] B(\bruch{2}{k}|\bruch{ke^{2}}{2}) [/mm] kann ich bestätigen
f) Normale:
[mm] n(x)=\bruch{8}{k^{3}e^{3}}-\bruch{4}{k^{2}e^{2}}*X+\bruch{e^{2}k}{2}
[/mm]
für dem Schnittpunkt mit der X-Achse habe ich x=0 in n(x) eingesetzt und
[mm] \bruch{16+e^{4}k^{4}}{2k^{3}e^{2}} [/mm] erhalten
Vielen Dank für eure Hilfe
Mfg Outkast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 15.03.2005 | | Autor: | outkast |
Wow die Aufgabe hat es echt in sich....
aber jetzt hab ich es endlich verstanden.
Vielen Dank für eure Hilfe.
meine endgültigen Ergebnisse:
(bei der n(x) hatte ich einen Tippfehler, der jetzt korrigiert ist)
Schnittpunkt der Normalen mit der X-Achse ist [mm] \bruch{16+e^{4}k^{4}}{8k}
[/mm]
und die untere Grenze von A(k)=3,69 FE
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