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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Do 10.11.2005 | | Autor: | Dr.Ufo |
Hallo zusammen!
Ich kämpfe grade mit folgender Aufgabe und wär für jeden Tipp zu meinem Ansatz dankbar, da ich überhaupt nicht weiterkomme!
Aufgabe:
f:X [mm] \to [/mm] Y Abbildung zwischen metr. Räumen X,Y
a) z.z: f ist stetig [mm] \Rightarrow [/mm] f( [mm] \overline{A} [/mm] ) [mm] \subset \overline{f(A)} [/mm] für jede Teilmenge A [mm] \subset [/mm] X
b) gilt auch die Umkehrung? (Nur Antwort)
c) Diskutiere das Beispiel [mm] f(x)=1/(1+x^{2}), [/mm] f: [mm] \IR \to \IR, A=\IR
[/mm]
Also :
zu a)f( [mm] \overline{A} [/mm] ) [mm] \subset \overline{f(A)} [/mm] heißt
x [mm] \in [/mm] f( [mm] \overline{A} )\subset [/mm] x [mm] \in \overline{f(A)} [/mm]
[mm] \overline{f(A)} [/mm] ={y [mm] \in [/mm] Y | [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 ist
B(y, [mm] \varepsilon) \cap [/mm] f(A) [mm] \not= \emptyset [/mm] }= { y [mm] \in [/mm] Y [mm] \forall [/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A mit f(a) [mm] \in [/mm] B(y, [mm] \varepsilon) [/mm] } [mm] \subset [/mm] Y
Also ist für mich zu zeigen: [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A mit
f(a) [mm] \in [/mm] B(x, [mm] \varepsilon)
[/mm]
Sei also a [mm] \in [/mm] A und B(f(a), [mm] \varepsilon) \Rightarrow \exists \delta [/mm] >0
mit
f(B(a, [mm] \delta)) \subset B(f(a),\varepsilon)
[/mm]
Das ist alles was ich meine zu wissen, leider komme ich jetzt überhaupt
nicht weiter! Teil b) und c) Hab ich nur zum Verständnis
hinzugeschrieben, da ich da leider auch auf keinen Ansatz komme!
Vermute B) gilt nicht!
Hab die Frage nirgendwo sonst gestellt!
Danke schon mal für eure Hilfe
Dr.Ufo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Do 10.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> zu a)f( [mm]\overline{A}[/mm] ) [mm]\subset \overline{f(A)}[/mm] heißt
> x [mm]\in[/mm] f( [mm]\overline{A} )\subset[/mm] x [mm]\in \overline{f(A)}[/mm]
Also das mit der Inklusion stimmt ja nicht - soll wohl Element-Zeichen sein, oder?
> [mm]\overline{f(A)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
={y [mm]\in[/mm] Y | [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 ist
> B(y, [mm]\varepsilon) \cap[/mm] f(A) [mm]\not= \emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}= { y [mm]\in[/mm] Y
> [mm]\forall[/mm]
> [mm]\varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A mit f(a) [mm]\in[/mm] B(y,
> [mm]\varepsilon)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\subset[/mm] Y
>
> Also ist für mich zu zeigen: [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0
> [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A mit
> f(a) [mm]\in[/mm] B(x, [mm]\varepsilon)[/mm]
Ich sehe das schon richtig, das du blos die Definitionen abgeschrieben/ganz leicht umgeformt hast?!?
> Das ist alles was ich meine zu wissen, leider komme ich
> jetzt überhaupt
> nicht weiter!
Folgende Hinweise gebe ich mal: im Abschluß sind doch alle Punkte, die jeweils Grenzwert einer ganz in A liegenden Folge sind. Da wirmetrische Räume haben - wasfolgt den aus Folgenstetigkeit? Worin liegen also die Grenmzwerte?
> Teil b) und c) Hab ich nur zum Verständnis
> hinzugeschrieben, da ich da leider auch auf keinen Ansatz
> komme!
Naja - die c) ist das Gegenbeispiel, dass man sich in der b) sonst überlegen müsste. Bei der c) musst da ja blos einfach mal nachrechnen, was denn rauskommt alsBildbereich etc pp - also eher sehr leicht.
SEcki
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