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| Aufgabe | Betrachten Sie die [mm] \IR-linearen [/mm] Räume [mm] \IR^{2},\IR^{3} [/mm] und die Abbildungen f,g: [mm] \IR^{3}\to\IR^{2}, [/mm] die gegeben sind als
[mm] f\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{x -z \\ y +z} [/mm]
....
Entscheiden Sie, ob f eine lineare Abbildung ist und.... |
Hallo, ich verstehe das nicht.
Muss z in dem Fall (immer) 0 sein, da:
x=x-z
0=-z ?
Oder wie wird man aus so einer Darstellung schlau?
Aus einem anderen Thread hier weiß ich, dass R³->R² nie injektiv ist. Hilft mir das weiter bei der Fragestellung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Sa 04.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die [mm]\IR-linearen[/mm] Räume [mm]\IR^{2},\IR^{3}[/mm] und
> die Abbildungen f,g: [mm]\IR^{3}\to\IR^{2},[/mm] die gegeben sind
> als
> [mm]f\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{x -z \\ y +z}[/mm]
>
> ....
>
> Entscheiden Sie, ob f eine lineare Abbildung ist und....
> Hallo, ich verstehe das nicht.
>
> Muss z in dem Fall (immer) 0 sein, da:
> x=x-z
> 0=-z ?
Nein , das ist Unsinn !
> Oder wie wird man aus so einer Darstellung schlau?
f ordnet dem Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] den Vektor [mm] \vektor{x -z \\ y +z} [/mm] zu.
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> Aus einem anderen Thread hier weiß ich, dass R³->R² nie
> injektiv ist. Hilft mir das weiter bei der Fragestellung?
Nein.
FRED
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Ok, also:
[mm] a=\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
[mm] b=\vektor{d \\ e \\ f}
[/mm]
Zu zeigen:
f(a+b)=f(a)+f(b)
Und [mm] \lambda \in \IR [/mm] sei beliebig gewählt.
[mm] \lambda f(a)=f(\lambda [/mm] a)
Hab ich aufm Papier gerechnet, stimmt für beides.
Wäre das die richtige Mthode um das zu überprüfen?
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> Ok, also:
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> [mm]a=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> [mm]b=\vektor{d \\ e \\ f}[/mm]
>
> Zu zeigen:
> f(a+b)=f(a)+f(b)
>
> Und [mm]\lambda \in \IR[/mm] sei beliebig gewählt.
>
> [mm]\lambda f(a)=f(\lambda[/mm] a)
>
> Hab ich aufm Papier gerechnet, stimmt für beides.
>
> Wäre das die richtige Mthode um das zu überprüfen?
Ja.
LG Angela
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Was ich nicht verstehe ist:
was soll das mit [mm] \lambda f(a)=f(\lambda [/mm] a)
?
Welche Abbildung kann das denn nicht erfüllen? (ein simples Beispiel genügt!)
Oder ist [mm] \lambda [/mm] nicht immer [mm] \in \IR [/mm] sondern könnte z.b. auch nur [mm] \in [/mm] {1,2,3} liegen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Sa 04.06.2016 | | Autor: | Stala |
Eine nicht-lineare Abbildung erfüllt das nicht, zum Biepsiel:
[mm] f(a)=a^2
[/mm]
[mm] f(\lambda [/mm] a) = [mm] (\lambda a)^2= \lambda^2*a^2 \not= \lambda *a^2 [/mm] = [mm] \lambda*f(a)
[/mm]
für [mm] \lambda \not= [/mm] 1
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Ok, dann vermutlich die letzte Frage hierzu:
Man soll noch eine Basis des Bildes von f bestimmen.
Kann ich hier einfach argumentieren:
Das Bild ist ganz [mm] \IR^{2}, [/mm] da ganz [mm] \IR^{2} [/mm] "herauskommen" kann.
(leicht zu überprüfen, einfach z 0 lassen und x,y "durchrattern" lassen)
Da jede Basis in diesem Fall genau 2 Vektoren hat, reicht hier diese:
{ [mm] {\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}} [/mm] }
(weil linear unabhängig und genau 2 Vektoren)
richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 So 05.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann vermutlich die letzte Frage hierzu:
>
> Man soll noch eine Basis des Bildes von f bestimmen.
>
> Kann ich hier einfach argumentieren:
> Das Bild ist ganz [mm]\IR^{2},[/mm] da ganz [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
"herauskommen"
> kann.
> (leicht zu überprüfen, einfach z 0 lassen und x,y
> "durchrattern" lassen)
Na klar kannst Du so argumentieren, nur wird das kein ernsthafter Mathematiker, und ein solcher willst Du doch werden, akzeptieren.
>
> Da jede Basis in diesem Fall genau 2 Vektoren hat, reicht
> hier diese:
>
> { [mm]{\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> (weil linear unabhängig und genau 2 Vektoren)
>
> richtig so?
Mein Gott,warum zeigst Du nicht, dass diese beiden Vektoren im Bild von f liegen ???
fred
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