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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:38 So 05.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Es seien V und W reelle Vektorräume. Beweisen Sie die folgende Aussage: Ist f : V --> W linear und injektiv und ist die Menge von Vektoren {v1,...,vn} [mm] \subset [/mm] V
(n >= 1) linear unabhängig, dann ist auch {f(v1),..., f(vn)} [mm] \subset [/mm] W linear unabhängig. |
f ist linear und injektiv und wir haben eine linear unabhängige Menge von Vektoren {v1,...,vn} [mm] \subset [/mm] V. Wäre
{f(v1),..., f(vn)} [mm] \subset [/mm] W linear abhängig, dann gäbe es [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] mit nicht alle [mm] a_{j} [/mm] j [mm] \in [/mm] 1,...,n so dass f(0)= 0 (Aus der Linearität der Abbildung) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} f(v_{i})= f(\summe_{i=1}^{n} a_{i} f(v_{i})) [/mm] und wegen der Injektivität von f folgt daraus dass [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} f(v_{i}) \in [/mm] <{v1,...,vn}> = 0
Was ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von {v1,...,vn} [mm] \subset [/mm] V ist. Somit muss {f(v1),..., f(vn)} [mm] \subset [/mm] W linear unabhängig sein.
Ist das richtig? Vielen Dank!
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> Es seien V und W reelle Vektorräume. Beweisen Sie die
> folgende Aussage: Ist f : V --> W linear und injektiv und
> ist die Menge von Vektoren {v1,...,vn} [mm]\subset[/mm] V
> (n >= 1) linear unabhängig, dann ist auch {f(v1),...,
> f(vn)} [mm]\subset[/mm] W linear unabhängig.
Hallo,
> f ist linear und injektiv und wir haben eine linear
> unabhängige Menge von Vektoren {v1,...,vn} [mm]\subset[/mm] V.
> Wäre
> {f(v1),..., f(vn)} [mm]\subset[/mm] W linear abhängig, dann
> gäbe es [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] mit nicht alle
[mm]a_{j}\red{\not=0}
[/mm] j [mm]\in[/mm] [mm] \red{\{}1,...,n \red{\}},
[/mm]
> so dass f(0)= 0 (Aus der Linearität der Abbildung) =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i} f(v_{i})=
=f(\summe_{i=1}^{n} a_{i} \red{v_{i}})[/mm]
> und wegen der Injektivität von f folgt daraus dass
[mm][mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} \red{v_{i}}= [/mm] 0 .
> Was ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von
> {v1,...,vn} [mm]\subset[/mm] V ist.
Ja.
> Somit muss {f(v1),..., f(vn)}
> [mm]\subset[/mm] W linear unabhängig sein.
>
> Ist das richtig?
Ja.
LG Angela
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