Abbildung zwischen Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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f : M [mm] \to [/mm] N eine beliebige Abbildung zwischen Mengen und A1, A2 beliebige teilmengen von M so gilt:
f(A1 [mm] \cup [/mm] A2) = f(A1) [mm] \cup [/mm] f(A2)
Ich möchte gerne einen Lösungsansatz haben wie ich dies beweisen könnte oder Aufschreiben könnte. Würde mich über eine Antwort freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo BiliAgili,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
exakt diese Frage wurde hier bereits mehrmals gestellt:
z.B. https://matheraum.de/read?t=21214
Vielleicht helfen dir die dortigen Ausführungen ja bereits weiter, falls nicht frage einfach nach.
Viele Grüße,
Marc
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f : M N eine beliebige Abbildung zwischen Mengen und A1, A2 beliebige teilmengen von M so gilt:
wenn f^-1 (B1 [mm] \cup [/mm] B2) = f^-1(B1) [mm] \cup [/mm] f^-1(B2)
dann: sei y [mm] \in [/mm] f^-1(B1 [mm] \cup [/mm] B2), dann gilt y [mm] \in [/mm] f^-1 und x [mm] \in [/mm] (B1 [mm] \cup [/mm] B2).
Daraus folgt y [mm] \in [/mm] f^-1 und x [mm] \in [/mm] B1 oder x [mm] \in [/mm] B2 ... usw
Ist der Ansatz bis dahin richtig oder hab ich etwas übersehen darf man sowas überhaupt machen ?!
Würd mich über eine schnelle antwort freuen
Gruà Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Do 11.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Peter!
Dein Ansatz könnte halbwegs richtig sein, ist aber relativ hingesaut und daher schlecht nachzuvollziehen. Benutze bitte demnächst unseren Formel-Editor.
Also:
Ist $x [mm] \in f^{-1}(B_1 \cup B_2)$, [/mm] dann gibt es ein $y [mm] \in B_1 \cup B_2$ [/mm] mit
$f(x) = y$.
Für dieses $y$ gilt: $y [mm] \in B_1$ [/mm] oder $y [mm] \in B_2$.
[/mm]
Es gibt also ein [mm] $y_1 \in B_1$ [/mm] mit
$f(x) = [mm] y_1$
[/mm]
oder ein [mm] $y_2 \in B_2$ [/mm] mit
$f(x) = [mm] y_2$.
[/mm]
Daraus folgt:
$x [mm] \in f^{-1}(B_1)$ [/mm] oder $x [mm] \in f^{-1}(B_2)$,
[/mm]
also:
$x [mm] \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$.
[/mm]
Ist umgekehrt
$x [mm] \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$,
[/mm]
so gilt:
$x [mm] \in f^{-1}(B_1)$ [/mm] oder $x [mm] \in f^{-1}(B_2)$,
[/mm]
d.h. es gibt ein [mm] $y_1 \in B_1$ [/mm] mit
$f(x) = [mm] y_1$
[/mm]
oder ein [mm] $y_2 \in B_2$ [/mm] mit
$f(x) = [mm] y_2$.
[/mm]
Es gilt aber: [mm] $y_1 \in B_1 \cup B_2$ [/mm] und [mm] $y_2 \in B_1 \cup B_2$,
[/mm]
d.h. es gibt in jedem Fall ein $y [mm] \in B_1 \cup B_2$ [/mm] mit
$f(x) = y$.
Daraus folgt:
$x [mm] \in f^{-1}(B_1 \cup B_2)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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