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| Aufgabe | Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und M [mm] \subseteq [/mm] X eine Teilmenge. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (Beweis oder Gegenbeispiel)
a) Ist [mm] f|_{M} [/mm] inj, so ist auch f inj.
b) Ist f inj, so ist auch [mm] f|_{M} [/mm] inj.
c)Ist f surj,so ist auch [mm] f|_{M} [/mm] surj.
d) Ist [mm] f|_{M} [/mm] surj, so ist auch f surj.
e) Ist [mm] f|_{M} [/mm] bij, so ist auch f bij. |
Hi, ich die Aufgabe bearbeitet und würde gern wissen, ob das so richtig ist und ob man es so schreiben kann.
a) und e)
falsch da:
Gegenbeispiel: Sei f: X [mm] \to [/mm] Y, x [mm] \mapsto [/mm] x² , X:= {-1,1,2}, M:= {1,2}, Y:={1,4}
Dann gilt für [mm] f|_{M}(x)
[/mm]
[mm] f|_{M}(1)=1, f|_{M}(2)=4 \Rightarrow f|_{M} [/mm] bij
und für f(x)
f(-1)=1, f(1)=1, f(2)=4 [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht inj [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht bij
b) richtig da:
f inj: [mm] \forall [/mm] x1,x2 [mm] \in [/mm] X: [mm] x1\not=x2 \Rightarrow [/mm] f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2)
Da M [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x1,x2 [mm] \in [/mm] M: [mm] x1\not=x2 \Rightarrow [/mm] f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2)
[mm] \Rightarrow f|_{M} [/mm] inj
c) falsch da:
Gegenbeispiel: Sei f:X [mm] \to [/mm] Y, x [mm] \mapsto [/mm] x
X=Y={1,2,3} ,M={1,2}
[mm] \Rightarrow [/mm] Im(f)= Y [mm] \Rightarrow [/mm] f surj
[mm] Im(f|_{M})=M (\subset\not= [/mm] Y) [mm] \Rightarrow f|_{M} [/mm] nicht surj
d) richtig da:
[mm] f|_{M} [/mm] surj: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M: [mm] f|_{M}(x) [/mm] = y
Da M [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \Rightarrow \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y
[mm] \Rightarrow [/mm] f surj
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Constantin,
> a) und e)
> falsch da:
> Gegenbeispiel: Sei f: X [mm]\to[/mm] Y, x [mm]\mapsto[/mm] x² , X:=
> {-1,1,2}, M:= {1,2}, Y:={1,4}
> Dann gilt für [mm]f|_{M}(x)[/mm]
> [mm]f|_{M}(1)=1, f|_{M}(2)=4 \Rightarrow f|_{M}[/mm] bij
> und für f(x)
> f(-1)=1, f(1)=1, f(2)=4 [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht inj
> [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht bij
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) richtig da:
> f inj: [mm]\forall[/mm] x1,x2 [mm]\in[/mm] X: [mm]x1\not=x2 \Rightarrow[/mm] f(x1)
> [mm]\not=[/mm] f(x2)
> Da M [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x1,x2 [mm]\in[/mm] M:
> [mm]x1\not=x2 \Rightarrow[/mm] f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2)
> [mm]\Rightarrow f|_{M}[/mm] inj
> c) falsch da:
> Gegenbeispiel: Sei f:X [mm]\to[/mm] Y, x [mm]\mapsto[/mm] x
> X=Y={1,2,3} ,M={1,2}
> [mm]\Rightarrow[/mm] Im(f)= Y [mm]\Rightarrow[/mm] f surj
> [mm]Im(f|_{M})=M (\subset\not=[/mm] Y) [mm]\Rightarrow f|_{M}[/mm] nicht
> surj
> d) richtig da:
> [mm]f|_{M}[/mm] surj: [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] M: [mm]f|_{M}(x)[/mm] =
> y
> Da M [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y [mm]\exists[/mm] x
> [mm]\in[/mm] X: f(x) = y
> [mm]\Rightarrow[/mm] f surj
Alles richtig!
Viele Grüße
Tobias
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