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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 So 15.03.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | Sei $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung. Zeigen Sie:
1.: Ist [mm] $M_1 \subset M_2 \subset [/mm] X$ so folgt [mm] $f(M_1) \subset f(M_2)$.
[/mm]
2.: [mm] $f^{-1}(Y \setminus [/mm] N) = X [mm] \setminus f^{-1}(N)$ [/mm] für $N [mm] \subset [/mm] Y$.
3.: Finden Sie ein Beispiel, in dem [mm] $f(M_1 \cap M_2) \neq f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] gilt$
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Ich habe mir vor einigen Tagen das Buch Lineare Algebra für Studienanfänger (Gerd Fischer) gekauft und habe mich nun einmal an die Übungsaufgaben herangewagt. Vielleicht findet sich hier ja ein geduldiger Helfer, der mir sagt, ob ich das richtig gemacht habe.
Zu 1:
Da diverse $x [mm] \in [/mm] X$ existieren, für die es $f(x) [mm] \in [/mm] Y$ gibt, ist jedes y = f(x) mit $x [mm] \in M_2$ [/mm] eine Teilmenge: [mm] $N_2 [/mm] = [mm] f(M_2) \subset [/mm] Y$.
Da nun [mm] $M_1 \subset M_2$ [/mm] wieder eine Teilmende ist, ist jedes $x [mm] \in M_1$ [/mm] auch $x [mm] \in M_2$ [/mm] und somit existieren diverse x aus [mm] $M_1$, [/mm] die sich mit f auf [mm] $M_2$ [/mm] abbilden lassen. Da ich bereits festgestellt habe, dass die Beschränkung [mm] $f|M_2$ [/mm] eine Teilmenge [mm] $N_2 \subset [/mm] Y$ ist, folgt daraus, dass [mm] $N_1 [/mm] = [mm] f(M_1) \subset N_2$ [/mm] ist. Schließlich enthält [mm] $M_1$ [/mm] elemente aus [mm] $M_2$, [/mm] die sich auf [mm] $N_2$ [/mm] abbilden lassen und sich somit zu einer Teilmenge von [mm] $N_2$ [/mm] zusammenfassen lassen.
zu 2:
$B = [mm] f^{-1}(Y \setminus [/mm] N)$ ist die Menge aller x = (y), deren y nicht in N liegt. Nun sei $A = [mm] f^{-1}(N)$ [/mm] die Menge aller x, für die $y = f(x) [mm] \in [/mm] N$ gilt. Daraus folgt, dass $B = X [mm] \\ [/mm] A$ ist, da sämtliche x = [mm] f^{-1}(y) [/mm] mit y aus N ($x [mm] \in [/mm] A$) in B nicht vorkommen.
Zu 3:
Sei [mm] $M_1 [/mm] = [mm] \{1,2,3,4\}$ [/mm] und [mm] $M_2 [/mm] = [mm] \{-1,-2,-3,-4\}$ [/mm] mit der Eigenschaft [mm] $M_1, M_2 \subset [/mm] X$, $Y = [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] und $f: X [mm] \to [/mm] Y, x [mm] \mapsto (x-1)^2$
[/mm]
Also ist [mm] $f(M_1 \cap M_2) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] (da [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] disjunkt). [mm] $f(M_1) \cap f(M_2)$ [/mm] ergibt allerdings die Menge {9}.
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Sind diese Beweise so richtig? Ist die Argumentation bei 2 ausreichend oder ist das zu lückenhaft?
lg, Dennis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 So 15.03.2009 | | Autor: | jumape |
Das ist schon alles ganz gut. Bei der dritten allerdings ist in dem Schnitt auch noch 0, 1, 4 drin.
Liebe Grüße
jumape
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