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| Aufgabe | Sei A eine Menge, wir definieren Bij(A):= {f: A->A| f bijektiv}
a) zeigen sie, dass ((Bij(A), o) eine Gruppe ist, wobei wir mit o die Verknüpfung von Abbildungen bezeichnen.
b) Geben Sie eine Menge A an, so dass Bij(A) nicht Abelsch ist (mit Beweis) |
zu a) ich muss also zeigen dass es die Identität, die Umkehrfunktion gibt und das assoziativität gilt, nur das einzige was ich gegeben hab ist das A->A bijektiv ist
muss ich mir jetzt ein beliebiges f rausnehmen und wie kann ich die Existenz der Umkehrfunktion beweisen?
wie kann ich argumentieren, dass Assoziativität gilt, hat jemand einen Ansatz?
zu b) Abelsch heißt ja, dass Kommutativität gilt, soll ich mir Funktionen raussuchen bei denen bei einer Verknüpfung (plus oder mal oder was auch immer) nicht gilt a+b=b+a und so weiter???
hat jemand eine idee?
Danke schön und liebe Grüße Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 So 28.10.2007 | | Autor: | mando |
Zu a) Sei f : A -> A bijektiv. Dann ist [mm] f^{-1}: [/mm] A -> A einfach durch das Urbild definiert. Einfach nachprüfen obs injektiv und surjektiv ist.
Wenn g und h weitere bij. Abb. von A in sich sind, so gilt:
f*(g*h(a))= f(g(h(a))) = (f*g)*h(a).
Außerdem ist noch zu zeigen, dass f*g auch bijektiv ist, prüf einfach mal nach, dass f*g auch injektiv und surjektiv ist.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 So 28.10.2007 | | Autor: | Damn88 |
Muss ich denn dann auch noch zeigen, dass die identische Abbildung bijektiv ist? Weil das ist doch eigentlich klar..
:/
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn es bisher noch nicht gezeigt wurde, würde ich es zeigen. Es geht ja auch schnell.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mo 29.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
zu a.) noch:
Die Gruppenoperation ist hier die Komposition von Abbildungen.
Überlege, ob die Komposition assoziativ ist und folgere daraus...
zu b.) Die Gruppe ist kommutativ für jede Menge mit höchstens 2 Elementen.
Überlege, ob es größere Mengen geben kann, auf denen das der Fall ist.
Gib dir dazu 3 verschiedene Elemente aus einer Menge vor und konstruiere 2 bijektive Abbildungen
auf dieser 3-elementigen Menge, die nicht kommutieren.
Das ist sehr leicht. Argumentiere dann, daß jede größere Menge 3 verschiedene Elemente enthält
und deine konstruierten Abbildungen daher Einschränkungen von Abbildungen auf jeder größeren Menge sind.
Gruß
Will
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danke für die antwort
wie soll ich mir die menge vorstellen kann ich zum beispiel zwei abbildungen bauen die bijektiv sind
f(x) A-->A mit x|--> x³
g(x) A--A mit x|--> x³+2
und für die ja offensichtlich kommutativität nicht gilt und die als menge angeben wieviele elemente hat diese menge jetzt deiner ansicht nach?
lg richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Richard,
> wie soll ich mir die menge vorstellen kann ich zum beispiel
> zwei abbildungen bauen die bijektiv sind
>
> f(x) A-->A mit x|--> x³
>
> g(x) A--A mit x|--> x³+2
ich würde es eher mit einem einfacheren Beispiel versuchen.
Lies besser noch einmal meine Antwort davor und nimm die Menge M = {1, 2, 3}
Auf dieser Menge gibt es genau 6 bijektive Abbildungen.
Gib sie alle an (als Wertetabelle) und dann probiere, ob die Komposition kommutativ ist.
Verwende zum Probieren bitte nicht gerade die Identität.
> und für die ja offensichtlich kommutativität nicht gilt
> und die als menge angeben wieviele elemente hat diese menge
> jetzt deiner ansicht nach?
Das hängt davon ab, was A ist.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 Mi 31.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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