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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Di 01.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Abbildung (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x+2y, 3x+4y).
Weiter sind B=C= { [mm] \vektor{1 \\ 1} \vektor{1 \\ 2}} [/mm] Basen.
Bestimme die Darstellungsmatrix. |
Hallo.
Mein Rechenweg sieht wie folgt aus:
[mm] f(\vektor{1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 7} [/mm] = a* [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + b [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
[mm] f(\vektor{1 \\ 2}) [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 11} [/mm] = a´* [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + b´ [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
a = -1, b = 4
a´= -1, b´= 6
Daraus ergibt sich M(f) = [mm] \pmat{ -1 & -1 \\ 4 & 6 }
[/mm]
Aber die Probe geht leider nicht auf:
[mm] \pmat{ -1 & -1 \\ 4 & 6 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 10}
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & -1 \\ 4 & 6 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 16}
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Mi 02.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Was habe ich falsch gemacht?
du vermischst in unzulässiger Weise Zeilen- und Spaltenschreibweisen.
Das geht allerdings schon in der Aufgabenstellung los.
> Gegeben ist die lineare Abbildung (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (x+2y, 3x+4y).
Das bedeutet doch offenbar, dass der Vektorraum aus (zeilenweise zu schreibenden) Tupeln besteht.
>
> Weiter sind B=C= ( [mm]\vektor{1 \\ 1} \vektor{1 \\ 2} [/mm] ) Basen.
Das ist dann natürlich Unsinn, weil die Basisvektoren Elemente des Vektorraums sind und deshalb selbstverständlich ebenfalls zeilenweise zu schreibende Tupel sein müssen.
Gehen wir also mal davon aus, dass B = C = ( (1,1) , (1,2) ) ist.
>
> Bestimme die Darstellungsmatrix.
> Hallo.
>
> Mein Rechenweg sieht wie folgt aus:
>
> [mm]f(\vektor{1 \\ 1})[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 7}[/mm] = a* [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] +
> b [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> [mm]f(\vektor{1 \\ 2})[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 11}[/mm] =
> a´* [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] + b´ [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> a = -1, b = 4
> a´= -1, b´= 6
Hier musst du die Zeilenschreibweise benutzen !
Es ist f( (1,1) ) = (3,7) und f( (1,2) ) = (5,11).
>
> Daraus ergibt sich M(f) = [mm]\pmat{ -1 & -1 \\ 4 & 6 }[/mm]
>
Diese Abbildungsmatrix ist allerdings richtig.
>
> Aber die Probe geht leider nicht auf:
Doch, das tut sie !
>
> [mm]\pmat{ -1 & -1 \\ 4 & 6 }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 10}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & -1 \\ 4 & 6 }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 16}[/mm]
>
>
> Was habe ich falsch gemacht?
Du interpretierst das Ergebnis falsch.
Die Abbildungsmatrix arbeitet nicht mit den Elementen des Vektorraumes selbst (das heißt mit den Zeilen-Tupeln), sondern mit den Darstellungen der Vektoren bezüglich einer Basis ! Diese Darstellungen werden spaltenweise geschriebenen.
Wenn du $ [mm] \pmat{ -1 & -1 \\ 4 & 6 } [/mm] $ * $ [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-2 \\ 10} [/mm] $ berechnest, dann musst du das folgendermaßen lesen :
Ein Vektor hat bezüglich der Basis B die Koordinatendarstellung [mm] \vektor{1 \\ 1}. [/mm] Dies ist der Vektor 1*(1,1)+1*(1,2) = (2,3) Nun ist f( (2,3) ) = (8,18) gemäß der oben gegebenen Abbildungsvorschrift, die die Definition von f darstellt.
Mit der Abbildungsmatrix M(f) bekommst du laut deiner Rechnung die Koordinatendarstellung [mm] \vektor{-2 \\ 10} [/mm] bezüglich der Basis C heraus und das ist der Vektor -2*(1,1)+10*(1,2) = (8,18) , also genau derselbe.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Mi 02.04.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Danke. :)
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