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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:27 So 26.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Betrachten Sie für a, b [mm] \in [/mm] R die linearen Abbildungen f,g : R2 --> R2
die durch f(x,y) = (x+ay, y) g(x,y) = (b(x+y), 0) gegeben sind.
a) Bestimmen Sie die Matrix A von f und die Matrix B von g bezüglich der Standardbasis des R2.
b) Berechnen Sie [mm] A^2 [/mm] = AA, [mm] A^3 [/mm] = AA2, [mm] B^2 [/mm] = BB und [mm] B^3 [/mm] = BB2. Geben Sie für beliebiges n [mm] \in [/mm] N , n>0 eine Formel [mm] A^n [/mm] = AA^(n-1) und
[mm] B^n [/mm] = BB^(n-1) an und beweisen Sie diese.
c) Für welche a, b [mm] \in [/mm] R gilt die Gleichheit AB = BA ? Begründen Sie. |
a)
A = [mm] \pmat{ 1 & a \\ 0 & 1 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ b & b \\ 0 & 0 }
[/mm]
b)
[mm] A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2a \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3a \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^n [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & na \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] B^2 [/mm] = [mm] \pmat{ b^2 & b^2 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] B^3 [/mm] = [mm] \pmat{ b^3 & b^3 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] B^n [/mm] = [mm] \pmat{ b^n & b^n \\ 0 & 0 }
[/mm]
c)
AB = [mm] \pmat{ b & b \\ 0 & 0 } [/mm] BA = [mm] \pmat{ b & ab+b \\ 0 & 0 }
[/mm]
AB = BA für a = 0 und b beliebig oder a= 0 und b=0 oder b = 0 und a beliebig
Ist das richtig? Vielen Dank!
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> Betrachten Sie für a, b [mm]\in[/mm] R die linearen Abbildungen f,g
> : R2 --> R2
> die durch f(x,y) = (x+ay, y) g(x,y) = (b(x+y), 0) gegeben
> sind.
>
> a) Bestimmen Sie die Matrix A von f und die Matrix B von g
> bezüglich der Standardbasis des R2.
>
> b) Berechnen Sie [mm]A^2[/mm] = AA, [mm]A^3[/mm] = AA2, [mm]B^2[/mm] = BB und [mm]B^3[/mm] =
> BB2. Geben Sie für beliebiges n [mm]\in[/mm] N , n>0 eine Formel
> [mm]A^n[/mm] = AA^(n-1) und
> [mm]B^n[/mm] = BB^(n-1) an und beweisen Sie diese.
>
> c) Für welche a, b [mm]\in[/mm] R gilt die Gleichheit AB = BA ?
> Begründen Sie.
> a)
> A = [mm]\pmat{ 1 & a \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> B = [mm]\pmat{ b & b \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> b)
>
> [mm]A^2[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2a \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]A^3[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 3a \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]A^n[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & na \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]B^2[/mm] = [mm]\pmat{ b^2 & b^2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]B^3[/mm] = [mm]\pmat{ b^3 & b^3 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]B^n[/mm] = [mm]\pmat{ b^n & b^n \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> c)
>
> AB = [mm]\pmat{ b & b \\ 0 & 0 }[/mm] BA = [mm]\pmat{ b & ab+b \\ 0 & 0 }[/mm]
>
Hallo,
> AB = BA für a = 0 und b beliebig oder a= 0 und b=0 oder b
> = 0 und a beliebig
kurz: a=0 oder b=0.
>
> Ist das richtig?
Ja. Die b) mußt Du halt noch beweisen.
LG Angela
Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Cccya |
b) würde ich mit Induktion beweisen:
Für A: IA: n=1 [mm] A^1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1a \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & a \\ 0 & 1 }
[/mm]
IB: Für alle n [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \in [/mm] N gilt [mm] A^n [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & na \\ 0 & 1 }
[/mm]
IS: [mm] A^{n+1} [/mm] = [mm] AA^n [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & a \\ 0 & 1 } \pmat{ 1 & na \\ 0 & 1 } [/mm] =
[mm] \pmat{ 1 & na+a \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & (n+1)a \\ 0 & 1 }
[/mm]
Für B: IA: n=1 [mm] B^1 [/mm] = [mm] \pmat{ b^1 & b^1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ b & b \\ 0 & 0 }
[/mm]
IB: Für alle n [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \in [/mm] N gilt [mm] B^n [/mm] = [mm] \pmat{ b^n & b^n \\ 0 & 0 }
[/mm]
IS: [mm] B^{n+1} [/mm] = [mm] BB^n [/mm] = [mm] \pmat{ b & b \\ 0 & 0 } \pmat{ b^n & b^n \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ bb^n & bb^n \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ b^{n+1} & b^{n+1} \\ 0 & 0 }
[/mm]
So richtig? Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, das ist alles richtig.
Gruß Sax.
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