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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben sind die linearen Abbildungen [mm] A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 }, A_{2}=\pmat{ 0 & 1.5 \\ 0 & 1 }, A_{3}=\pmat{ -1 & 0 \\ 2 & 1 }, A_{4}=\pmat{ \bruch{1}{5} & -\bruch{2}{5} \\ -\bruch{2}{5} & \bruch{4}{5} }.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Bildmenge,den Kern und die Fixpunktmenge der vier Abbildungen.
b) Ordnen Sie jeder der gegebenen Matrizen eine der folgenden Abbildungen zu,die deren geometrische Wirkung beschreibt.
1) Schrägspiegelung in Richtung der Geraden y=-x an der y-Achse.
2) Orthogonale Projektion auf die Gerade y=-x
3) Orthogonale Projektion auf die GErade y=-2x
4) Projektion in Richtung der x-Achse auf die Gerade [mm] y=\bruch{2}{3}x [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe und komme an einigen Stellen nicht mehr weiter.
zu a)
1.) [mm] A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 }:
[/mm]
Bei dieser Abbildung hab ich bei der Bestimmung des Kerns folgendes LGS:
0.5x-0.5y=0
-0.5x+0.5y=0
wenn ich die beiden Gleichungen zusammenrechne kommt 0=0 raus.Bedeutet das jetzt,dass der Kern aus allen Punkten der Geraden y=x besteht?
Und für die Fixpunktmenge und Bildmenge dieser Abbildung kommt dasselbe raus,bei beiden kommt y=-x raus.Hat das jetzt eine besondere Bedeutung?Bedeutet das,dass alle Punkte unter dieser Abbildung nur auf sich selbst abgebildet werden?
2.) [mm] A_{2}=\pmat{ 0 & 1.5 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Bei dieser Abbildung hab ich für den Kern folgendes LGS:
1.5y=0
y=0
Irgendwie weiß ich nicht,was mir das sagt.Heißt das vielleicht,dass die Abbildung keinen Kern hat?
zu b)
Hier bin ich echt planlos,habs aber trotzdem mal versucht.
Ich glaube zu 1) gehört die Abbildung [mm] A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 },weil [/mm] wenn hier ein Punkt an der y-Achse gespiegelt wird,dann ändern sich die Vorzeichen,aber so ganz versteh ich das nicht und unter der Schrägspiegelung in Richtung der Geraden y=-x kann ich mir grad nichts vorstellen.Könnte mir jemand vielleicht anhand der 1) erklären,wie man das macht,damit ich dann die restlichen machen kann?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mandy,
Ich habe Deine Frage erst jetzt gesehen, aber vielleicht kannst Du mit der Antwort ja noch was anfangen.
> Gegeben sind die linearen Abbildungen [mm]A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 }, A_{2}=\pmat{ 0 & 1.5 \\ 0 & 1 }, A_{3}=\pmat{ -1 & 0 \\ 2 & 1 }, A_{4}=\pmat{ \bruch{1}{5} & -\bruch{2}{5} \\ -\bruch{2}{5} & \bruch{4}{5} }.[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Bildmenge,den Kern und die
> Fixpunktmenge der vier Abbildungen.
> b) Ordnen Sie jeder der gegebenen Matrizen eine der
> folgenden Abbildungen zu,die deren geometrische Wirkung
> beschreibt.
> 1) Schrägspiegelung in Richtung der Geraden y=-x an der
> y-Achse.
> 2) Orthogonale Projektion auf die Gerade y=-x
> 3) Orthogonale Projektion auf die GErade y=-2x
> 4) Projektion in Richtung der x-Achse auf die Gerade
> [mm]y=\bruch{2}{3}x[/mm]
> Hallo zusammen^^
>
> Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe und komme an
> einigen Stellen nicht mehr weiter.
>
> zu a)
>
> 1.) [mm]A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 }:[/mm]
>
> Bei dieser Abbildung hab ich bei der Bestimmung des Kerns
> folgendes LGS:
>
> 0.5x-0.5y=0
> -0.5x+0.5y=0
>
> wenn ich die beiden Gleichungen zusammenrechne kommt 0=0
> raus.Bedeutet das jetzt,dass der Kern aus allen Punkten der
> Geraden y=x besteht?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") genau. Alle Punkte dieser Geraden werden auf den Nullpunkt abgebildet.
> Und für die Fixpunktmenge und Bildmenge dieser Abbildung
> kommt dasselbe raus,bei beiden kommt y=-x raus.Hat das
> jetzt eine besondere Bedeutung?Bedeutet das,dass alle
> Punkte unter dieser Abbildung nur auf sich selbst
> abgebildet werden?
Der Kern hat die Gleichung y=x, die Fixgerade aber die Gleichung y=- x, also die Winkelhalbierende des 2. und 4. Quadranten.
>
>
> 2.) [mm]A_{2}=\pmat{ 0 & 1.5 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Bei dieser Abbildung hab ich für den Kern folgendes LGS:
>
> 1.5y=0
> y=0
>
> Irgendwie weiß ich nicht,was mir das sagt.Heißt das
> vielleicht,dass die Abbildung keinen Kern hat?
>
Doch der Kern ist die x-Achse, die hat ja die Gleichung y=0.
>
> zu b)
>
> Hier bin ich echt planlos,habs aber trotzdem mal versucht.
> Ich glaube zu 1) gehört die Abbildung [mm]A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 },weil[/mm]
> wenn hier ein Punkt an der y-Achse gespiegelt wird,dann
> ändern sich die Vorzeichen,aber so ganz versteh ich das
> nicht und unter der Schrägspiegelung in Richtung der
> Geraden y=-x kann ich mir grad nichts vorstellen.Könnte mir
> jemand vielleicht anhand der 1) erklären,wie man das
> macht,damit ich dann die restlichen machen kann?
Ich erkläre es Die an Hand von 2. Bei eine orthogonalen Projektion auf die Gerade g:y=-x, ist diese Gerade die Bildmenge. Außerdem steht die Gerade h:y=x im Ursprung senkrecht auf g, also werden alle Punkte von h auf den Ursprung abgebildet. Sie gehört also zu [mm] A_1
[/mm]
Die Schrägspiegelung ist die einzige affine Abbildung, also gehört sie zu [mm] A_3.
[/mm]
Gruß
Sigrid
>
> Vielen Dank
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 27.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
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> Ich habe Deine Frage erst jetzt gesehen, aber vielleicht
> kannst Du mit der Antwort ja noch was anfangen.
Ja,vielen Dank.Deine Antwort ist für mich immer noch brauchbar =)
> > Hier bin ich echt planlos,habs aber trotzdem mal versucht.
> > Ich glaube zu 1) gehört die Abbildung [mm]A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 },weil[/mm]
> > wenn hier ein Punkt an der y-Achse gespiegelt wird,dann
> > ändern sich die Vorzeichen,aber so ganz versteh ich das
> > nicht und unter der Schrägspiegelung in Richtung der
> > Geraden y=-x kann ich mir grad nichts vorstellen.Könnte mir
> > jemand vielleicht anhand der 1) erklären,wie man das
> > macht,damit ich dann die restlichen machen kann?
>
> Ich erkläre es Die an Hand von 2. Bei eine orthogonalen
> Projektion auf die Gerade g:y=-x, ist diese Gerade die
> Bildmenge. Außerdem steht die Gerade h:y=x im Ursprung
> senkrecht auf g, also werden alle Punkte von h auf den
> Ursprung abgebildet. Sie gehört also zu [mm]A_1[/mm]
Ok,ich hab also zwei Geraden g und h die senkrecht sind.Und dann hab ich die Abbildung [mm] A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 }.Ich [/mm] versteh jetzt nicht,warum alle Punkte von h auf den Ursprung abgebildet werde,ich dachte die werden von h auf g projiziert?Oder,warte ich glaub ich weiß es doch.Vielleicht weil es eine orthogonale Projektion ist und von h die Punkte orthogonal nur auf den Ursprung projiziert werden oder???
Und erkennt man jetzt daran,dass die Bildmenge von [mm] A_{1} [/mm] y=-x ist,dass genau [mm] A_{1} [/mm] die orthogonale Projektion auf die Gerade y=-x ist?
ist das der einzigste "Hinweis" darauf oder kann man sich das auch anhand der Zahlen und den Vorzeichen der Abbildung klarmachen?Könnte da z.B. auch anstatt der 0.5 einfach 4.7 oder so stehen.Wäre das dann trotzdem eine Orthogonale Prjektion auf die Gerade y=-x?
lg
> Die Schrägspiegelung ist die einzige affine Abbildung, also
> gehört sie zu [mm]A_3.[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mandy,
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> > > Hier bin ich echt planlos,habs aber trotzdem mal versucht.
> > > Ich glaube zu 1) gehört die Abbildung [mm]A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 },weil[/mm]
> > > wenn hier ein Punkt an der y-Achse gespiegelt wird,dann
> > > ändern sich die Vorzeichen,aber so ganz versteh ich das
> > > nicht und unter der Schrägspiegelung in Richtung der
> > > Geraden y=-x kann ich mir grad nichts vorstellen.Könnte
> mir
> > > jemand vielleicht anhand der 1) erklären,wie man das
> > > macht,damit ich dann die restlichen machen kann?
> >
> > Ich erkläre es Die an Hand von 2. Bei eine orthogonalen
> > Projektion auf die Gerade g:y=-x, ist diese Gerade die
> > Bildmenge. Außerdem steht die Gerade h:y=x im Ursprung
> > senkrecht auf g, also werden alle Punkte von h auf den
> > Ursprung abgebildet. Sie gehört also zu [mm]A_1[/mm]
>
> Ok,ich hab also zwei Geraden g und h die senkrecht sind.Und
> dann hab ich die Abbildung [mm]A_{1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 }.Ich[/mm]
> versteh jetzt nicht,warum alle Punkte von h auf den
> Ursprung abgebildet werde,ich dachte die werden von h auf g
> projiziert?Oder,warte ich glaub ich weiß es
> doch.Vielleicht weil es eine orthogonale Projektion ist und
> von h die Punkte orthogonal nur auf den Ursprung projiziert
> werden oder???
Genau!!
> Und erkennt man jetzt daran,dass die Bildmenge von [mm]A_{1}[/mm]
> y=-x ist,dass genau [mm]A_{1}[/mm] die orthogonale Projektion auf
> die Gerade y=-x ist?
> ist das der einzigste "Hinweis" darauf oder kann man sich
> das auch anhand der Zahlen und den Vorzeichen der Abbildung
> klarmachen?Könnte da z.B. auch anstatt der 0.5 einfach 4.7
> oder so stehen.Wäre das dann trotzdem eine Orthogonale
> Prjektion auf die Gerade y=-x?
Probier's doch einfach mal aus. Nimm statt 0,5 irgendeine andere Zahl und berechne Kern und Fixpunkte. Wenn Du eine orthogonale Projektion hast, muss ja die Gerade, auf die Du projizierst, Fixpunktgerade sein.
Hilft Dir das?
Gruß
Sigrid
>
> lg
> > Die Schrägspiegelung ist die einzige affine Abbildung,
> also
> > gehört sie zu [mm]A_3.[/mm]
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