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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mi 09.06.2010 | | Autor: | lausch |
| Aufgabe | Es sei V := [mm] \IQ^2x3 [/mm] der [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] der 2x3-Matrizen,W := [mm] \IQ^2x2 [/mm] der [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] der 2x2-
Matrizen und phi : V [mm] \toW [/mm] die folgende Q-lineare Abbildung:
phi : V [mm] \toW [/mm] ; M [mm] \mapsto [/mm] M*A ; wobei A =
[mm] \pmat{ 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 }\in\IQ [/mm] ^3x2
Weiter seien die geordneten Basen
B:=
[mm] (\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }) [/mm] von V
und [mm] C:=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} & 0 }) [/mm] von W gewählt.
Berechnen sie die Abbildungsmatrix M B C (phi) bzgl. dieser beiden Basen.
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Hallo,
ich versuche jetzt schon die ganze Zeit rum, komme aber nicht wirklich auf ne Lösung. Ich habe schon einmal eine Abbildungsmatrix gebildet, aber nur bzgl einer Basis.
Wahrscheinlich ist es ähnlich trivial wie bei der Abbildungsmatrix bzgl. einer Basis.. Wie gehe ich hier vor? Habt ihr irgendwelche Tipps?
Dankee
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> Es sei V := [mm]\IQ^2x3[/mm] der [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] der 2x3-Matrizen,W
> := [mm]\IQ^2x2[/mm] der [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] der 2x2-
> Matrizen und phi : V [mm]\toW[/mm] die folgende Q-lineare
> Abbildung:
> phi : V [mm]\toW[/mm] ; M [mm]\mapsto[/mm] M*A ; wobei A =
> [mm]\pmat{ 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 }\in\IQ[/mm] ^3x2
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> Weiter seien die geordneten Basen
> B:=
> [mm](\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 })[/mm]
> von V
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> und [mm]C:=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} & 0 })[/mm]
> von W gewählt.
> Berechnen sie die Abbildungsmatrix M B C (phi) bzgl.
> dieser beiden Basen.
>
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> Hallo,
> ich versuche jetzt schon die ganze Zeit rum,
Hallo,
schade, daß Du uns nich an Deinen Überlegungen teilnehmen läßt.
Das wären dann auch die lt. Forenregeln geforderten Lösungsansätze.
> komme aber
> nicht wirklich auf ne Lösung. Ich habe schon einmal eine
> Abbildungsmatrix gebildet, aber nur bzgl einer Basis.
Interessant wäre zu hören, wie Du das gemacht hast.
> Wahrscheinlich ist es ähnlich trivial
???
> wie bei der
> Abbildungsmatrix bzgl. einer Basis.. Wie gehe ich hier vor?
> Habt ihr irgendwelche Tipps?
Überleg Dir erstmal, welches Format die Darstellungsmatrix haben wird.
Kochrezept:
man erinnert sich wieder an das Standardsprüchelchen: "In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren der Basis des Startraumes in Koordinaten bzgl der Basis des Zielraumes".
Damit steht der Plan:
Bilder der Basisvektoren bestimmen, also die Bilder von [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] [/mm] , [mm][mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }.
[/mm]
Die Ergebnisse jeweils als Linearkombination von [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} & 0 } [/mm] schreiben, die Koeffizienten in einen Spaltenvektor "stapeln". Das ist dann der Eintrag der jeweiligen Spalte der Darstellungsmatrix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mi 09.06.2010 | | Autor: | lausch |
Okay dann hier kurz meine bisherigen Ideen ;)
Ich habe die Elemente der Basis nach Abbildungsvorschrift mit A multipliziert.
Ich bekomme 2x2 Matrizen als Ergebnis. So zum Beispiel [mm] \pmat{ 1 & -3 \\ 0 & 0 } [/mm] als Ergebnis des ersten Basiselements. Ist mein Vorgehen soweit richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay dann hier kurz meine bisherigen Ideen ;)
> Ich habe die Elemente der Basis nach Abbildungsvorschrift
> mit A multipliziert.
> Ich bekomme 2x2 Matrizen als Ergebnis. So zum Beispiel
> [mm]\pmat{ 1 & -3 \\ 0 & 0 }[/mm] als Ergebnis des ersten
> Basiselements. Ist mein Vorgehen soweit richtig?
Ja. Nun schreibe diese Matrix als linearkombination der Basiselemente von
$ [mm] C:=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} & 0 }) [/mm] $
Die Elemente in C bez. ich der Reihe nach mit [mm] C_1, [/mm] .., [mm] C_4
[/mm]
Dann ist
[mm]\pmat{ 1 & -3 \\ 0 & 0 }= 1*C_1-3*C_2+0*C_3+0*C_4[/mm]
Die erste Spalte der gesuchten Abb.-Matrix ist also
[mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Jetzt machst Du weiter
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mi 09.06.2010 | | Autor: | lausch |
ach super, sah alles mal wieder viel komplizierter aus als es letztendlich ist.
vielen dank an euch beide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mi 09.06.2010 | | Autor: | lausch |
eine letzte frage habe ich dann aber doch noch.
und zwar weiß ich nicht wie ich z.B. [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & -3 } [/mm] mithilfe der Basisvektoren von C darstellen soll?
Der Eintrag 2,2 ist ja immer leer bei den elementen von c.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> eine letzte frage habe ich dann aber doch noch.
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> und zwar weiß ich nicht wie ich z.B. [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & -3 }[/mm]
> mithilfe der Basisvektoren von C darstellen soll?
> Der Eintrag 2,2 ist ja immer leer bei den elementen von c.
Stimmt, das ist mir gar nicht aufgefallen.
Das kann nur daran liegen, dass Du oder der Aufgabensteller die Basis C falsch angegeben hat.
Das:
$ [mm] C:=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 0 },\pmat{ 0 & \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} & 0 }) [/mm] $
ist jedenfalls keine Basis von C
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Mi 09.06.2010 | | Autor: | lausch |
ja komisch. da werd ich mich dann mal drum kümmern. danke nochmal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mi 09.06.2010 | | Autor: | lausch |
sorry falsch abgeschrieben ;) fehler lag bei mir
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