Abbildungsmerkmale und f_{-1} < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob folgende Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv sind. Im Falle der Bijektivität
geben Sei die Umkehrfunktion an.
a)f: [mm] \IN\times\IN \to \IN, (a,b)\mapsto [/mm] a*b
b)f: [mm] \IR\times\IR \to \IR\times\IR, (a,b)\mapsto(a+b, [/mm] a-b) |
Bisher:
injektiv: Für alle [mm] x_{1},x_{2}\in\IN [/mm] mit [mm] x_{1}\not=x_{2}, [/mm] gilt [mm] f(x_{1})\not=f(x_{2}).
[/mm]
Die Definition hab ich glatt genutzt und folgendes gemeint:
Sei [mm] x_{1} [/mm] = (a,b) und [mm] x_{2} [/mm] = (b,a) mit [mm] x_{1}\not=x_{2}.
[/mm]
Jetzt wissen wir, dass das Kommutativgesetz gilt bei addition und multiplikation. Also erfahren wir das trotz [mm] x_{1}\not=x_{2} \rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}). [/mm]
Also nicht injektiv. [mm] \Box
[/mm]
Bijektivität: ausgeschlossen
Bis hierhin war mein Aschenbecher leer und meine Kaffeemaschine sauber.
Surjektivität: Für alle [mm] y\in\IN [/mm] gilt [mm] y:={x\in\IN|f(x)=y}
[/mm]
Per formalen Beweis war ich nicht fähig, also hab ich improvisiert: Angenommen a=1 und b=n wobei [mm] n\in\IN [/mm] also das Intervall n=[1,2,3,...,n]. Somit habe ich alle Tupel mit (1,n). Es gilt 1*n = n. Also f((1,n))=f(n)=n. Das heißt es werden alle Funktionswerte [mm] n\in\IN [/mm] abgebildet. [mm] \Box
[/mm]
Meine Frage hierzu. Ist das eine legitime Lösung? Würde sowas i.A. durchgehen in einer Klausur? Und gibt es einen formaleren Weg? bzw. gibt es einen anderen weg wo ich nicht irgendwelche Zahlen einsetzen müsste.
b)Hier fehlt mir gänzlich der Ansatz.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Maurizz,
> Bisher:
>
> injektiv: Für alle [mm]x_{1},x_{2}\in\IN[/mm] mit [mm]x_{1}\not=x_{2},[/mm]
> gilt [mm]f(x_{1})\not=f(x_{2}).[/mm]
> Die Definition hab ich glatt genutzt und folgendes
> gemeint:
> Sei [mm]x_{1}[/mm] = (a,b) und [mm]x_{2}[/mm] = (b,a) mit [mm]x_{1}\not=x_{2}.[/mm]
> Jetzt wissen wir, dass das Kommutativgesetz gilt bei
> addition und multiplikation. Also erfahren wir das trotz
> [mm]x_{1}\not=x_{2} \rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}).[/mm]
> Also nicht injektiv. [mm]\Box[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Idealerweise sollte man bei einem Gegenbeispiel auch angeben, was a und b seien sollen, also z.B. so:
Es gilt [mm] $(1,2)\not=(2,1)$, [/mm] aber $f((1,2))=2=f((2,1))$. Somit ist f nicht injektiv.
> Bijektivität: ausgeschlossen
> Surjektivität: Für alle [mm]y\in\IN[/mm] gilt [mm]y:={x\in\IN|f(x)=y}[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Für alle natürlichen Zahlen y ist y eine Menge?
> Per formalen Beweis war ich nicht fähig, also hab ich
> improvisiert: Angenommen a=1 und b=n wobei [mm]n\in\IN[/mm] also das
> Intervall n=[1,2,3,...,n].
Was bedeutet [1,2,3,...,n]? Und das soll =n sein?
> Somit habe ich alle Tupel mit
> (1,n). Es gilt 1*n = n. Also f((1,n))=f(n)=n.
f((1,n))=n stimmt. f(n) kannst du gar nicht bilden, denn [mm] $n\not\in\IN\times\IN$.
[/mm]
> Das heißt es
> werden alle Funktionswerte [mm]n\in\IN[/mm] abgebildet getroffen. [mm]\Box[/mm]
>
> Meine Frage hierzu. Ist das eine legitime Lösung?
Ich kann erkennen, dass du die Lösung an sich verstanden hast.
> Würde
> sowas i.A. durchgehen in einer Klausur?
Ich würde sagen: Das hängt vom Korrigierenden ab. Wahrscheinlich würde es einen Teil der zu erreichenden Punkte geben.
> Und gibt es einen
> formaleren Weg? bzw. gibt es einen anderen weg wo ich nicht
> irgendwelche Zahlen einsetzen müsste.
Die Zahlen sind ja zentraler Gegenstand der Beweise. Daran ist nichts auszusetzen.
Verbessern könnte man die Art des Aufschreibens:
Zu zeigen ist für die Surjektivität, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] ein Element [mm] $(a,b)\in\IN\times\IN$ [/mm] existiert mit $f((a,b))=n$.
Sei also [mm] $n\in\IN$. [/mm] Es gilt f((1,n))=1*n=n. Also leistet $(a,b):=(1,n)$ das Gewünschte.
> b)Hier fehlt mir gänzlich der Ansatz.
Injektivität: Nimm am besten die Charakterisierung, dass f injektiv ist genau dann, wenn gilt:
Für alle [mm] $(a,b),(a',b')\in\IR\times\IR$ [/mm] mit $f((a,b))=f((a',b'))$ gilt bereits $(a,b)=(a',b')$.
Betrachte also beliebig vorgegebene [mm] $(a,b),(a',b')\in\IR\times\IR$ [/mm] mit $f((a,b))=f((a',b'))$.
Was bedeutet $f((a,b))=f((a',b'))$ nach Definition von f?
Versuche daraus a=a' und b=b' zu folgern.
Surjektivität: Surjektivität von f heißt:
Für alle [mm] $(x,y)\in\IR\times\IR$ [/mm] existiert ein Paar [mm] $(a,b)\in\IR\times\IR$ [/mm] mit $f((a,b))=(x,y)$.
Schreibe die Bedingung $f((a,b))=(x,y)$ mit der Definition von f aus und untersuche, ob es so ein Paar [mm] $(a,b)\in\IR\times\IR$ [/mm] gibt.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
