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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Di 21.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
| Aufgabe | | Topologischer Rand F(A) einer Teilmenge A [mm] \subset [/mm] X eines metrischen Raumes X durch F(A) = [mm] \overline{A}\cap\overline{X-A}. [/mm] Beweisen Sie: [mm] \overline{A}=A\cup [/mm] F(A) |
Hallo alle zusammen,
ich bin leider ganz schlecht in Beweisen und bitte Sie um Hilfe oder ein Paar Ansätze.
Ich habe angefangen mit der Definition des Randes: [mm] F(A)=\overline{A}\cap\overline{X-A}
[/mm]
dann wäre [mm] \overline{X-A}=\overline{X}\backslash\overline{A}
[/mm]
weiß nicht, ob das schon mal ein richtiger Anfang wäre?
Werde dankbar für die Hilfe
Gruß Regina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Topologischer Rand F(A) einer Teilmenge A [mm]\subset[/mm] X eines
> metrischen Raumes X durch F(A) =
> [mm]\overline{A}\cap\overline{X-A}.[/mm] Beweisen Sie:
> [mm]\overline{A}=A\cup[/mm] F(A)
> Hallo alle zusammen,
> ich bin leider ganz schlecht in Beweisen und bitte Sie um
> Hilfe oder ein Paar Ansätze.
> Ich habe angefangen mit der Definition des Randes:
> [mm]F(A)=\overline{A}\cap\overline{X-A}[/mm]
> dann wäre
> [mm]\overline{X-A}=\overline{X}\backslash\overline{A}[/mm]
Und wieso glaubst Du, dass das gilt? (War das eine andere Aufgabe, die
schon bewiesen wurde, oder woher kommt die Idee? Ich meine: Wenn
man selbst einfach mal Aussagen aufstellt, um Aufgaben zu beweisen,
sollte man sich auch von der Richtigkeit dieser Hilfsmittel überzeugen...)
> weiß nicht, ob das schon mal ein richtiger Anfang wäre?
Weiß ich auch nicht. Ich würde es so machen:
Es ist [mm] $F(A)=\overline{A}\cap\overline{X \setminus A}\,.$
[/mm]
Per Definitionem ist [mm] $\overline{A}$ [/mm] die kleinste abgeschlossene Menge, die
[mm] $A\,$ [/mm] enthält.
1. Zeige: $A [mm] \cup [/mm] F(A)$ ist abgeschlossen. (Klar ist, dass $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] F(A))$
gilt!)
Daraus folgt dann sofort [mm] $\overline{A} \subseteq [/mm] (A [mm] \cup F(A)\,.)$
[/mm]
2. Zeige: Ist [mm] $T\,$ [/mm] irgendeine abgeschlossene Menge mit $A [mm] \subseteq T\,,$ [/mm] so folgt
schon $(A [mm] \cup [/mm] F(A)) [mm] \subseteq T\,.$
[/mm]
Dann muss insbesondere auch $A [mm] \cup [/mm] F(A) [mm] \subseteq \overline{A}$ [/mm] gelten.
Insgesamt folgt dann die Behauptung.
Der Beweis zu 1. ist nicht so schwer. Bei 2. wird's sicher ein klein wenig
kniffliger...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
X-A ist die Menge X ohne Menge A. Und genauso dachte ich, dass es für den Abschluss gelten sollte?
zu 1) sollte ich zeigen, dass [mm] \overline{A} [/mm] oder Abschluss von [mm] \overline{A \cup F(A) } [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Sorry, dass ich gar nicht bedankt habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> X-A ist die Menge X ohne Menge A.
ja, ich habe das als $X [mm] \setminus [/mm] A$ notiert!
> Und genauso dachte ich,
> dass es für den Abschluss gelten sollte?
?? Wie gesagt: Wenn Du was verwenden willst, muss es vorher schon
bewiesen worden sein, oder Du musst es selbst beweisen, wenn es
denn überhaupt stimmt!
> zu 1) sollte ich zeigen, dass [mm]\overline{A}[/mm] oder Abschluss
> von [mm]\overline{A \cup F(A) }[/mm] ?
Du sollst zeigen, dass $A [mm] \cup [/mm] F(A)$ abgeschlossen ist, d.h. Du kannst auch
zeigen, dass gilt
$$A [mm] \cup F(A)=\overline{A \cup F(A)}\,.$$
[/mm]
(Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit ihrem Abschluss
übereinstimmt!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:09 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> Topologischer Rand F(A) einer Teilmenge A [mm]\subset[/mm] X eines
> metrischen Raumes X durch F(A) =
> [mm]\overline{A}\cap\overline{X-A}.[/mm] Beweisen Sie:
> [mm]\overline{A}=A\cup[/mm] F(A)
> Hallo alle zusammen,
> ich bin leider ganz schlecht in Beweisen und bitte Sie um
> Hilfe oder ein Paar Ansätze.
> Ich habe angefangen mit der Definition des Randes:
> [mm]F(A)=\overline{A}\cap\overline{X-A}[/mm]
> dann wäre
> [mm]\overline{X-A}=\overline{X}\backslash\overline{A}[/mm]
> weiß nicht, ob das schon mal ein richtiger Anfang wäre?
Hallo Regina,
meinst Du für Mengen $M, N$ mit $M-N$ dasselbe wie mit [mm] $M\setminus N\,?$
[/mm]
Wenn ja, ist Dein Ansatz falsch: Es ist nämlich stets [mm] $\overline {X\setminus A}$ [/mm] abgeschlossen aber [mm] $\overline [/mm] X [mm] \setminus \overline [/mm] A$ offen. Im allgemeinen gilt nicht [mm] $\overline {X\setminus A}=\overline [/mm] X [mm] \setminus \overline A\,.$
[/mm]
Gruß Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> > Topologischer Rand F(A) einer Teilmenge A [mm]\subset[/mm] X eines
> > metrischen Raumes X durch F(A) =
> > [mm]\overline{A}\cap\overline{X-A}.[/mm] Beweisen Sie:
> > [mm]\overline{A}=A\cup[/mm] F(A)
> > Hallo alle zusammen,
> > ich bin leider ganz schlecht in Beweisen und bitte Sie um
> > Hilfe oder ein Paar Ansätze.
> > Ich habe angefangen mit der Definition des Randes:
> > [mm]F(A)=\overline{A}\cap\overline{X-A}[/mm]
> > dann wäre
> > [mm]\overline{X-A}=\overline{X}\backslash\overline{A}[/mm]
> > weiß nicht, ob das schon mal ein richtiger Anfang
> wäre?
>
> Hallo Regina,
>
> meinst Du für Mengen [mm]M, N[/mm] mit [mm]M-N[/mm] dasselbe wie mit
> [mm]M\setminus N\,?[/mm]
> Wenn ja, ist Dein Ansatz falsch: Es ist
> nämlich stets [mm]\overline {X\setminus A}[/mm] abgeschlossen aber
> [mm]\overline X \setminus \overline A[/mm] offen. Im allgemeinen
> gilt nicht [mm]\overline {X\setminus A}=\overline X \setminus \overline A\,.[/mm]
stimmt: topologisch ist's trivial, dass diese Regel falsch ist. Es war mir zu spät,
um genauer drüber nachzudenken (Gehirn auf Energiesparmodus ^^) -
zumal ich eh nicht den Sinn davon gesehen hätte...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mi 22.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Ich muß auch noch meinen bescheidenen Senf dazu geben:
Ich wundere mich immer wieder, dass (nicht nur in diesem Forum), Leute mit "selbstgebastelten Regeln" auf den Markt kommen und glauben, sie seien richtig.
Solche Regeln sind zunächst nichts schlimmes, eher im Gegenteil. Man sieht dass sich der Urheber wenigstens Gedanken gemacht hat. Wenn es aber beim Glauben bleibt, wirds nur blöd.
Das geht dann nach dem Motto: "Seht mal her, ich weiss Sachen, die gar nicht stimmen". Dieses Motto passt zur Parapsychologie und zur Esotherik und ähnlich besheuerten Disziplinen.
Aber,wir machen hier Mathematik !!
Zur "Regel" $ [mm] \overline{X \setminus A}=\overline{X}\backslash\overline{A} [/mm] $
Dass das i.a. nicht stimmt, kann man sich doch ratzfatz an einfachsten Beispielen klar machen:
X= [mm] \IR [/mm] (mit d(x,y)=|x-y|) und A= { 0 }
fred
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:27 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Vielen Dank für die Antworten und die Hinweise!
Gruß Regina
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