Abgeschlossene, offene Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Di 01.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen...
Ich tu mich leider gerade ein bischen schwer mit folgender Aussage:
Wenn A [mm] \subset \IR^n [/mm] abgeschlossen ist, dann ist das Komplement [mm] \IR^n [/mm] \ A offen.
Es soll nun begründet werden, ob diese Aussage wahr oder falsch ist.
Meine Vorüberlegung:
Wenn alle Randpunkte von A zu A gehören, heißt A abgeschlossen.
Wenn keiner dazugehört, heißt A offen.
[mm] \vec{a} [/mm] ist ein Randpunkt von A, wenn in jeder noch so kleinen Kugel um [mm] \vec{a} [/mm] sowohl Punkte von A liegen, wie auch Punkte, die nicht in A (sondern [mm] \IR^n [/mm] \ A) liegen. Ein Randpunkt [mm] \vec{a} [/mm] selber kann zu A gehören oder auch nicht.
Meine Antwort:
Die Aussage ist wahr. Denn es lassen sich Randpunkte der Abgeschlossenen Menge A [mm] \subset \IR^n [/mm] finden, die sowohl in A als auch nicht in A liegen.
Ich hoffe das meine Antwort verständlich ist. Sofern die Aussage falsch sein sollte, wäre ich euch sehr verbunden, wenn ihr mir eventuell ein Gegenbeispiel liefern könntet, bzw. eines mit mir ausklügeln könntet.
Danke für eure Hilfe. mfg thadod
|
|
| |
|
> Hallo zusammen...
>
> Ich tu mich leider gerade ein bischen schwer mit folgender
> Aussage:
>
> Wenn A [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen ist, dann ist das
> Komplement [mm]\IR^n[/mm] \ A offen.
>
> Es soll nun begründet werden, ob diese Aussage wahr oder
> falsch ist.
>
> Meine Vorüberlegung:
>
> Wenn alle Randpunkte von A zu A gehören, heißt A
> abgeschlossen.
> Wenn keiner dazugehört, heißt A offen.
> [mm]\vec{a}[/mm] ist ein Randpunkt von A, wenn in jeder noch so
> kleinen Kugel um [mm]\vec{a}[/mm] sowohl Punkte von A liegen, wie
> auch Punkte, die nicht in A (sondern [mm]\IR^n[/mm] \ A) liegen. Ein
> Randpunkt [mm]\vec{a}[/mm] selber kann zu A gehören oder auch
> nicht.
>
> Meine Antwort:
> Die Aussage ist wahr.
Das stimmt, aber deine Begründung überzeugt mich nicht.
> Denn es lassen sich Randpunkte der
> Abgeschlossenen Menge A [mm]\subset \IR^n[/mm] finden, die sowohl in
> A als auch nicht in A liegen.
Wie soll den ein Punkt gleichzeitig in A und nicht in A liegen???
Und wenn du meinst: Es gibt Randpunkte, die in A liegen und solche, die nicht in A liegen, so stimmt das auch nicht, da abgeschlossen ja gerade bedeutet, dass alle randpunkte dazugehören.
>
> Ich hoffe das meine Antwort verständlich ist. Sofern die
> Aussage falsch sein sollte, wäre ich euch sehr verbunden,
> wenn ihr mir eventuell ein Gegenbeispiel liefern könntet,
> bzw. eines mit mir ausklügeln könntet.
>
> Danke für eure Hilfe. mfg thadod
>
Begründen lässt sich die Aussage damit, dass jeder Randpunkt von A gleichzeitig Randpunkt des Komplements [mm] \IR^n [/mm] \ A ist und umgekehrt.
Und wenn alle Randpunkte in A liegen, kann keiner mehr zu [mm] \IR^n [/mm] \ A geören....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Di 01.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo...
Danke für deine Antwort.
Ich habe mir die Definition für die Randpunkte so aus dem Skript herausgeschrieben. Ich finde sie auch nicht einleuchtend...
mfg thadod
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Di 01.11.2011 | | Autor: | donquijote |
Ich glaube, du hast bei der Definition was durcheinandergebracht. Wenn x Randpunkt von A ist, dann gibt es in jeder Umgebung von x sowohl Punkte, die in A liegen, als auch solche, die nicht in A liegen.
|
|
|
|
