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| Aufgabe | Es seien X, Y Banachräume und T : X ⊃ D(T) → Y ein linearer Operator. Beweisen oder widerlegen Sie:
Sei A : X ⊃ D(A) → Y ein abgeschlossener, linearer Operator. Dann ist T
genau dann abgeschlossen, wenn T + A abgeschlossen ist |
Ich konnte bis jetzt nur zeigen, dass "<=" nicht gilt.
Doch stimmt vielleicht die andere Richtung?
Ich habe so angefangen: Sei [mm] $x_n \to [/mm] x$ mit [mm] $(A+T)x_n\to [/mm] y$. Wir müssten zeigen, dass [mm] $x\in [/mm] D(A+T)$ und $(A+T)x=y$.
Aber ich kann leider nicht die Abgeschlossenheit der Operatoren $A$ und $T$ ausnutzen, denn ich weiß nicht, ob [mm] $Ax_n$ [/mm] bzw. [mm] $Tx_n$ [/mm] überhaupt konvergieren. :-(
Also brauchen wir vielleicht doch ein Gegenbeispiel. Könnt Ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Di 21.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es seien X, Y Banachräume und T : X ⊃ D(T) → Y
> ein linearer Operator. Beweisen oder widerlegen Sie:
>
> Sei A : X ⊃ D(A) → Y ein abgeschlossener,
> linearer Operator. Dann ist T
> genau dann abgeschlossen, wenn T + A abgeschlossen ist
> Ich konnte bis jetzt nur zeigen, dass "<=" nicht gilt.
Damit bist du doch fertig, denn du hast die Aussage der Äquivalenz widerlegt.
> Doch stimmt vielleicht die andere Richtung?
Wenn T und A abgeschlossen sind, sind ihre Graphen abgeschlossene Untervektorräume von [mm] $X\times [/mm] Y$. Der Graph von T+A ist auch ein Untervektorraum von [mm] $X\times [/mm] Y$. Ist er abgeschlossen?
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
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> > Es seien X, Y Banachräume und T : X ⊃ D(T) → Y
> > ein linearer Operator. Beweisen oder widerlegen Sie:
> >
> > Sei A : X ⊃ D(A) → Y ein abgeschlossener,
> > linearer Operator. Dann ist T
> > genau dann abgeschlossen, wenn T + A abgeschlossen ist
> > Ich konnte bis jetzt nur zeigen, dass "<=" nicht gilt.
>
> Damit bist du doch fertig, denn du hast die Aussage der
> Äquivalenz widerlegt.
>
> > Doch stimmt vielleicht die andere Richtung?
>
> Wenn T und A abgeschlossen sind, sind ihre Graphen
> abgeschlossene Untervektorräume von [mm]X\times Y[/mm]. Der Graph
> von T+A ist auch ein Untervektorraum von [mm]X\times Y[/mm]. Ist er
> abgeschlossen?
>
> Viele Grüße
> Rainer
Der Graph von T+A ist i. Allg. nicht abgeschlossen. Ich habe derweil herausgefunden, dass "=>" nicht gilt. Man wähle $T:=-A$. Dann ist
$A+T=0 : [mm] D(A+T)=D(A)\subset X\to [/mm] Y$.
Ich muss mir jetzt noch klar werden, wieso der 0-Operator nicht abgeschlossen ist! Hat jemand eine idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 21.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo!
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> > > Es seien X, Y Banachräume und T : X ⊃ D(T) → Y
> > > ein linearer Operator. Beweisen oder widerlegen Sie:
> > >
> > > Sei A : X ⊃ D(A) → Y ein abgeschlossener,
> > > linearer Operator. Dann ist T
> > > genau dann abgeschlossen, wenn T + A abgeschlossen
> ist
> > > Ich konnte bis jetzt nur zeigen, dass "<=" nicht
> gilt.
> >
> > Damit bist du doch fertig, denn du hast die Aussage der
> > Äquivalenz widerlegt.
> >
> > > Doch stimmt vielleicht die andere Richtung?
> >
> > Wenn T und A abgeschlossen sind, sind ihre Graphen
> > abgeschlossene Untervektorräume von [mm]X\times Y[/mm]. Der Graph
> > von T+A ist auch ein Untervektorraum von [mm]X\times Y[/mm]. Ist er
> > abgeschlossen?
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Der Graph von T+A ist i. Allg. nicht abgeschlossen. Ich
> habe derweil herausgefunden, dass "=>" nicht gilt. Man
> wähle [mm]T:=-A[/mm]. Dann ist
>
> [mm]A+T=0 : D(A+T)=D(A)\subset X\to Y[/mm].
>
> Ich muss mir jetzt noch klar werden, wieso der 0-Operator
> nicht abgeschlossen ist! Hat jemand eine idee?
>
Dein Beispiel ist O.K.
Wenn T = -A ist, so ist der "natürliche" Definitionsraum von A+T = 0 der Raum D(A).
Wenn Du jetzt die Def. der abgeschlossenheit eines Operators anwendest, so siehst Du leicht:
A+T = 0 ist genau dann abgeschlossen, wenn D(A) ein abgeschlossener Unterraum ist.
FRED
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