Abiprüfung mündl. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Gleb |
| Aufgabe | z.b.:
y´=x²*y
irgendwie muss doch hier auf ein c kommen?
auch durch dx/dy? |
Hallo Leute,
bitte helft mir, zum Abschluss der 13 klasse haben wir noch differentialrechnung (methode trennung der Veränderlichen) als auswahlthema gemacht.
Nun steht die Abiprüfung vor der tür und das thema verstehe ich wirklich 0. Weiß nur, dass es eine allg. spezielle und singuläre Lsg gibt.
könnt ihr mir bitte erklären, wie ich auf diese Lsg komme, ein weg dazu wäre auch nicht schlecht?! :(
P.S.: habe einen reader dazu, aber auch NULL zu verstehen!(scheint eine kopie aus einem lehrbuch zu sein.
EINEN HERZLICHEN DANK
Gleb
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Gleb,
meine letze DGL ist schon ne Weile her und ich muss gleich weg, also nur kurz(ich stelle die Frage auf teilweise beantw.,dann helfen dir noch andere):
Du suchst eine Fkt. y(x), die deine Differentialgleichung erfüllt. Trennung der Variablen ist hier genau das Richtige.Also alles mit y auf eine Seite und alles mit x auf die andere:
[mm] y'=x^2*y [/mm] |:y [mm] (y\not=0)
[/mm]
[mm] \bruch{y'}{y}=x^2
[/mm]
jetzt auf beiden Seiten nach x integrieren, y hängt ja von x ab.y ist nur eine abkürzende Schreibweise für y(x)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{y'(x)}{y(x)}dx}=\integral_{}^{}{x^2dx}
[/mm]
[mm] \ln(y(x))=\bruch{1}{3}x^3
[/mm]
[mm] y(x)=e^{\bruch{1}{3}x^3}
[/mm]
Das müsste eigentlich stimmen.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Gleb |
| Aufgabe | interessant, scheint in diesem falle einfach zu sein, bloss wie komme ich nun auf das C;
habe noch im Heft rumgesucht, da ist die rede von:
C1
C2
C3
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Danke für die Antworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Fr 09.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Gleb
Walde hat die Konstanten wirklich vergessen. Die allgemeine Stammfunktion von [mm] x^{2} [/mm] ist ja nicht nur [mm] 1/3x^{3} [/mm] sondern [mm] 1/3x^{3}+C1
[/mm]
ebenso ist die Stammfkt von y'/y nicht einach lny sondern lny+C2
Die 2 Konstanten kannst du auf eine Seite der Gleichunng bringen und eine draus machen C=C1-C2
Dann ist deine allgemeine Lösung [mm] y=e^{1/3*x^{3}+C}=A*e^{1/3*x^{3}}
[/mm]
mit [mm] e^{C}=A
[/mm]
Ists soweit klar?
Wenn man y an einer Stelle Kennt, meist y(0) wird dadurch C festgelegt.
y(0) heisst Anfangswert. z. Bsp y(0)=3 folgt C=3 durch einsetzen.
[mm] y=3*e^{1/3*x^{3}} [/mm] ist dann die Lösung der Dgl zum Anfangswert 3
Von allgemeinerLösung spricht man immer, wenn man keinen Anfangswert festgelegt hat.
Der Ausdruck spezielle Lösung kommt eigentlich nur bei linearen Dgl. vor, wo es die allgemeine Lösg. der homogenen und eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung gibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Gleb |
| Aufgabe | Klingt vielleicht etwas unüberlegt, aber wie erkenne ich den y-wert, der das C festlegt, bzw woher kenne ich den?
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Danke
Gleb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Sa 10.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Anfangswert wird mit der Dgl. vorgegeben. Die Dgl beschreibt ja irgend was in Wirklichkeit, oft einen zeitlichen Verlauf (x ist die Zeit) Dann muss man wissen ,was jetzt ist, um die Zukunft vorherzusagen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Gleb |
ah, jetzt verstehe ich mehr der weniger woher das c kommt,
es kommt von der stammfkt: aslo muss es nich
[mm] e^{ \bruch{1}{3}}
[/mm]
sondern
[mm] e^{ \bruch{1}{3}} [/mm] + C
heissen!
Dieses müsste nun umgefoprmt werden:
[mm] C1*e^{ \bruch{1}{3}} [/mm] C1>0
weitere mgl.:
[mm] -C2*e^{ \bruch{1}{3}} [/mm] C2<0
nun entgültig:
[mm] C3*e^{ \bruch{1}{3}} [/mm] C3 [mm] \in\IR
[/mm]
das ist nun die...Lsg?
jetzt muss nur noch festgelegt werden, welche lsg was ist; also singuläre, allgmeine, oder...Lsg
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