Abitur-Aufgaben, BW, LK, 1993 < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:37 Sa 10.04.2004 | | Autor: | Stefan |
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte [mm]A(1|2|3)[/mm], [mm]B(5|0|-1)[/mm] und [mm]D(-1|6|-1)[/mm] gegeben.
a) Zeigen Sie, dass es einen Punkt [mm]C[/mm] gibt, für den das Viereck [mm]ABCD[/mm] ein Quadrat ist, und bestimmen Sie die Koordinaten von [mm]C[/mm]. Das Quadrat [mm]ABCD[/mm] ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Höhe [mm]6[/mm]; der Fußpunkt der Höhe ist der Mittelpunkt dieses Quadrates.
Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Pyramidenspitzen [mm]S[/mm] und[mm]S'[/mm], und zeichnen Sie ein Schrägbild dieser beiden Pyramiden. (LE [mm]1cm[/mm]; Verkürzungsfaktor in [mm]x_1[/mm]-Richtung [mm]\frac{1}{2}\sqrt{2}[/mm].
b) Gegeben ist die Ebene [mm]E: 10x_2 + 4x_2 - x_3 - 51=0[/mm], welche den Punkt [mm]B[/mm] und den Punkt [mm]C[/mm] aus Teilaufgabe a) enthält. Die Ebene $E$ zerschneidet die Pyramide $ABCD$ aus Teilaufgabe a) in zwei Teilkörper.
Zeigen Sie, dass die Schnittfläche ein gleichschenkliges Trapez ist.
Berechnen Sie das Volumen des Teilkörpers mit der Spitze $S$.
c) Berechne Sie das Volumen der Pyramide $ABCDS$ aus Teilaufgabe a).
Gegeben sind die Geraden
[mm]g: \vex{x} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 1\end{array} \right) + s \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right); \quad s \in \IR[/mm]
und
[mm]h: \vex{x} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 1\end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ -2 \end{array} \right); \quad t \in \IR[/mm].
Zeigen Sie, dass sich das Volumen der Pyramide nicht ändert, wenn ihre Spitze auf der Gerade [mm]g[/mm] wandert.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte [mm]S^{\*}[/mm] auf der Gerade [mm]h[/mm] so, dass das Volumen [mm] $V^{\*}$ [/mm] von jeder der Pyramiden [mm] $ABCDS^{\*}$ [/mm] doppelt so groß wird wie das Volumen der Pyramide $ABCDS$.
d) Die Pyramide $ABCDS$ aus Teilaufgabe a) besitzt eine Inkugel; diese berührt also die Grundfläche und alle vier Seitenflächen der Pyramide. Der Pyramide wird ein möglichst großer Kreiskegel mit der Spitze $S$ einbeschrieben.
Begründen Sie, dass die Inkugel der Pyramide sowohl den Mantel des Kegels als auch seine Grundfläche berührt.
Beschreiben Sie die Menge aller Punkte, in denen die Inkugel den Kegel berührt.
Viel Spaß! 
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Di 29.05.2007 | | Autor: | jcent |
hallo und zwar meine frage wie erhalte ich den Mittelpunkt des Quadrats
habe für C (3/4/-5) herausbekommen
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Hi, jcent,
> habe für C (3/4/-5) herausbekommen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> meine frage wie erhalte ich den Mittelpunkt
> des Quadrats
Dieser Mittelpunkt - nennen wir ihn M - ist z.B. die Mitte der Diagonalen [AC] und somit über die "Formel" für den Mittelpunkt einer Strecke zu berechnen:
[mm] \vec{m} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(\vec{a}+\vec{c})
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 03.06.2007 | | Autor: | jcent |
Da wir noch keine abstandsberechnung hatten weiß ich nicht wie ich auf S komme bei a)
habe als ebene für das parallelogramm 2x+2y+z=9 herausbekommen
der Normalenvektor ist ja dann (2)
(2)
(1)
ich hatte den ansatz eine Lotgerade zu entwickeln aber kein ahnung
eine antwrt ist kurzer zeit wäre sher nett danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 So 03.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jcent,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die Idee mit der Lotgerade durch den Mittelpunkt des Quadrates ist doch schon gut.
Stelle dazu die Kugelgleichung um $M_$ mit dem Radius $r \ = \ 6$ auf und schneide diese Kugel mit der oben ermittelten Lotgeraden.
Damit erhältst Du dann 2 mögliche Werte für $S_$ .
Alternativ kannst Du auch die HESSE'sche Normalform der Ebenengleichung ermitteln und dann den entsprechenden Abstand berücksichtigen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 So 11.04.2004 | | Autor: | Arthur |
hab eben mal angefangen die Aufgabe zu bearbeiten :)
Für den Punkt C muss gelten AD = BC und AB = DC,
sowie AC*AB = 0, damit es kein Parallelogramm sein kann.
Das gilt für C(3/4/-5).
Für die Punkte S und S' muss gelten, dass FhS* AD = 0 und FhS*AB= 0 ist.
Das gilt für S(5/5/-2) und (-3/-3/-6).
Jetzt habe ich eine Frage zu b)
Reicht es zu sagen, dass wenn S bzw S' nicht Element dieser Ebene sind, sowie die Ebene nicht identisch zur Ebene ABC ist, die Schnittebene ein gleichschenkliges Trapez sein MUSS?
Oder muss ich noch die Schnittpunkte mit den Seitenflächen ausrechnen und zeigen, dass das ganze ein Trapez ist und die Winkel zwischen den Vektoren jeweils gleich sind?
Ich fürchte ja, dass das zweite der Fall ist :(
Volumen berechnen ist ja nicht sonderlich schwer(Grundfläche durch Kreuzprodukt ausrechnen und Höhe ist gegeben)
Dann die Höhe in Abhängigkeit der Geraden g einsetzen und s rausschmeißen, damit man sieht dass das Volumen unabhängig von s ist.
Beim doppelten Volumen bestimme ich t so, dass es die Gleichung fürs doppelte Volumen erfüllt.
Aufgabe d) kann ich mal versuchen, doch sind Kugeln bei uns nicht Abistoff.
Ich warte erst einmal auf Rückmeldung zu den anderen Aufgabenteilen, denn vielleicht hab ich ja da schon Mist gebaut.
Bis dann,
Arthur
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 11.04.2004 | | Autor: | Arthur |
zum Teil, dass sich das Volumen nicht ändert:
da muss gelten, dass der Richtungsvektor von g parallel zur Ebene ABC ist.
Also orthogonal zum Normalenvektor den wir ja bereits gebraucht haben. Außerdem muss S ein Punkt auf der Geraden sein.
Das ist der Fall.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Arthur!
> zum Teil, dass sich das Volumen nicht ändert:
Das hattest du doch schon behandelt bzw. skizziert, wie man es lösen kann?
> da muss gelten, dass der Richtungsvektor von g parallel zur
> Ebene ABC ist.
> Also orthogonal zum Normalenvektor den wir ja bereits
> gebraucht haben.
Gut, aber diese Lösung müßtest du --im Gegensatz zu deiner zuvor vorgestellen Variante mit dem wegfallenden Parameter s-- noch näher begründen
> Außerdem muss S ein Punkt auf der Geraden
> sein.
Das sehe ich nicht. Es reicht doch, dass g parallel zur Grundfläche verläuft, da nur dann (und das ist die oben angesprochene Begründung) die Höhe (=Abstand der Geraden zur Grundfläche) identisch ist (und die Höhe muß konstant bleiben, da in der Volumenformel der Pyramide neben der Grundfläche G nur die Höhe einfließt, die Grundfläche durch die Variation der Pyramidenspritze S aber sicher konstant bleibt).
> Das ist der Fall.
Das sehe ich für meine Lösung S(6/7/1) so, aber nicht für deine (S(5/5/-2)). Hast du doch auch meine Lösung?
--Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Arthur |
Ok ich sehe ein, dass ich da noch eine Begründung hätte schreiben müssen :)
Ich hatte einfach angenommen dass S auf der Geraden liegt (fälschlicherweise, da es ja wirklich nicht sein muss) und es aus Faulheit nicht mehr nachgeprüft. Aber keine Sorge im Abi nehm ich mir mehr Zeit für sowas!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 11.04.2004 | | Autor: | Arthur |
So:
damit das Volumen doppelt so groß ist, muss die Höhe = 12 sein.
D.h. Abstand Ebene ABC zur Gerade h = 12
Das ist der Fall bei t=1 und t= -3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:54 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Arthur!
> damit das Volumen doppelt so groß ist, muss die Höhe = 12
> sein.
> D.h. Abstand Ebene ABC zur Gerade h = 12
Klar.
> Das ist der Fall bei t=1 und t= -3.
Hier wäre das "Wie" interessant, ich sehe hier keinen einfachen Rechenweg, der keiner Erwähnung wert wäre...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Arthur |
Also
es muss gelten Abstand d=12
also 12 = |(h - a)*n0|
wobei h ein allgemeiner Geradenpunkt ist, a der Punkt A (oder B C D) und n0 eben der Einheitsnormalenvektor.
Wenn man das auflöst kommt man zu meinen Lösungen.
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Ich komme irgendwie gar nicht auf den Punkt C und es wäre nett, wenn Ihr mal vorrechnen könntet, wie Ihr auf die S-Punkte kommt.
MfG DerMathematiker
PS: Wäre mal sehr interessiert an dem Lösungsvorgang!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 11.04.2004 | | Autor: | Arthur |
also du kannst dir überlegen, dass
der Vektor AD gleich dem Vektor BC sein muss
AD ist gegeben...dann addierst du AD zum Punkt B hinzu und du hast den Punkt C.
Für S suchst du einen zu AB und AD orthogonalen Vektor. Dann addierst du 6 mal den Einheitsvektor dieses Vektors zum Fußpunkt Fh hinzu( der ist 1/2 AC). und du hast S. Für S' addierst du 6 mal den Einheitsvektor*-1 hinzu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> also du kannst dir überlegen, dass
>
> der Vektor AD gleich dem Vektor BC sein muss
> AD ist gegeben...dann addierst du AD zum Punkt B hinzu und
> du hast den Punkt C.
> Für S suchst du einen zu AB und AD orthogonalen Vektor.
> Dann addierst du 6 mal den Einheitsvektor dieses Vektors
> zum Fußpunkt Fh hinzu( der ist 1/2 AC). und du hast S. Für
> S' addierst du 6 mal den Einheitsvektor*-1 hinzu
Schön, dass DerMathematiker nachgefragt hat, sonst hätte ich gefragt, wie du auf die Ergebnisse gekommen bist.
Eine Kleinigkeit nur, die Arthur aber sicher auch so meinte: Der Fußpunkt (bzw. sein Ortsvektor) ist natürlich [mm] \vec{0F_h}=\vec{0A}+\bruch{1}{2}\vec{AC}, [/mm] aber wahrscheinlich blamiere ich mich hier selbst, da es sowieso allen klar ist.
--Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Arthur!
> Für den Punkt C muss gelten AD = BC und AB = DC,
> sowie AC*AB = 0, damit es kein Parallelogramm sein kann.
An eine mögliche "Gemeinheit der Aufgabenstellung" sollte man hier vielleicht noch einen Gedanken verschwenden: Es könnte ja sein, dass die Ecken des Vierecks nicht wie eigentlich vereinbart (entgegen des Uhrzeigersinns) bezeichnet sind; deswegen wäre hier tatsächlich interessant, welche dieser Eigenschaften du für die Berechnung von C benutzt und/oder überprüft hast.
Aber hier ist das --Überraschung-- nicht der Fall, so dass
> Das gilt für C(3/4/-5).
richtig ist.
> Für die Punkte S und S' muss gelten, dass FhS* AD = 0 und
> FhS*AB= 0 ist.
Wie die auf [mm] F_h [/mm] gekommen bist, hast du ja später demonstriert.
Für die Musterlösung (die wir in die Datenbank stellen werden) rechne ich es mal vor:
[mm] \vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{BC}=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{CD}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{DA}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{AC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{0F_h}=\vec{0A}+\bruch{1}{2}*\vec{AC}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Normalenvektor zur Ebene, in der $ABCD$ liegt: [mm] \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Normiert: [mm] \vec{n_0}=\bruch{1}{3}*\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
> Das gilt für S(5/5/-2) und (-3/-3/-6).
[mm] \vec{0S}=\vec{0F_h}+6*\vec{n_0}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wo ist mein/dein Fehler?
> Jetzt habe ich eine Frage zu b)
>
> Reicht es zu sagen, dass wenn S bzw S' nicht Element dieser
> Ebene sind, sowie die Ebene nicht identisch zur Ebene ABC
> ist, die Schnittebene ein gleichschenkliges Trapez sein
> MUSS?
Das wäre zu einfach, würde ich sagen. Jedenfalls müßtest du es begründen, für all diejenigen, die sich so etwas (Räumliches) nicht vorstellen können (und ich kenne einige). Übrigens ist ein Quadrat auch ein gleichschenkliges Trapez. Und gemeiner Weise könnte E gar nicht die Pyramide "durchschneiden" (sondern durch die Strecke [mm] \overline{BC} [/mm] mit ihr gemeinsam haben).
> Oder muss ich noch die Schnittpunkte mit den Seitenflächen
> ausrechnen und zeigen, dass das ganze ein Trapez ist und
> die Winkel zwischen den Vektoren jeweils gleich sind?
> Ich fürchte ja, dass das zweite der Fall ist :(
Das fürchte ich schon.
> Volumen berechnen ist ja nicht sonderlich
> schwer(Grundfläche durch Kreuzprodukt ausrechnen und Höhe
> ist gegeben)
Bist du hier schon bei Teilaufgabe c)?
Das würde gehen, aber findest du für die Berechnung der Grundfläche das Kreuzprodukt wirklich einfacher, als die quadrierten Komponenten eines Vektors zu addieren?
[mm] G=|\vec{AB}|^2=\vec{AB}*\vec{AB}=\ldots
[/mm]
Für b) war aber noch das Volumen eines Teilkörpers zu berechnen.
> Dann die Höhe in Abhängigkeit der Geraden g einsetzen und
> s rausschmeißen, damit man sieht dass das Volumen
> unabhängig von s ist.
> Beim doppelten Volumen bestimme ich t so, dass es die
> Gleichung fürs doppelte Volumen erfüllt.
> Aufgabe d) kann ich mal versuchen, doch sind Kugeln bei uns
> nicht Abistoff.
Dann laß' es lieber, das verwirrt nur. Vielleicht kann die Teilaufgabe ja jemand machen, der Kugeln im Abi hat?
Bin gespannt auf deine weiteren Lösungen!
--Marc
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Hallo Ihr,
also ich verstehe das immernoch nit, wie die auf den Punkt C kommen. Zudem wollte ich mal fragen ob Kugeln im Abi des Saarlandes möglich sind, weil ich gar nicht davon wusste, dass die in manchen gleich von vorne herein ausgeschlossen werden können.
MfG DerMathematiker
PS: Ich glaube ich werde meine eigenen Aufgaben weiterrechnen, da mich diese Aufgabe sehr verwirrt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker!
> also ich verstehe das immernoch nit, wie die auf den Punkt
> C kommen.
Die vier Punkte $ABCD$ (von denen $ABD$ gegeben sind) bilden ein Quadrat, wewegen doch gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind.
In Vektoren ausgedrückt:
[mm] \vec{AD}=\vec{BC}
[/mm]
[mm] \vec{CD}=\vec{BA}
[/mm]
(Ich gehe hier davon aus, dass das Quadrat "wie üblich" beschriftet ist, also A, B, C und D entgegen des Uhrzeigersinns vergeben werden).
Wegen der ersten Gleichheit oben gilt doch nun für den Ortsvektor des Punktes C:
[mm] \vec{0C}=\vec{0B}+\underbrace{\vec{BC}}_{=\vec{AD}\;\mbox{\scriptsize{, s.o.}}}=\vec{0B}+\vec{AD}
[/mm]
Da müssen nur noch die konkreten Zahlenwerte eingesetzt werden:
[mm] \vec{AD}=\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{0C}=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}
[/mm]
> Zudem wollte ich mal fragen ob Kugeln im Abi des
> Saarlandes möglich sind, weil ich gar nicht davon wusste,
> dass die in manchen gleich von vorne herein ausgeschlossen
> werden können.
Ich denke schön ,dass das möglich ist, allerdings nicht bzw. sehr unwahrscheinlich, wenn Ihr Kugeln während des Unterrichts kaum besprochen habt.
> PS: Ich glaube ich werde meine eigenen Aufgaben
> weiterrechnen, da mich diese Aufgabe sehr verwirrt.
Wirklich? So schwierig war es doch bisher nicht (von den Kugeln der letzten Teilaufgabe mal abgesehen).
Vielleicht findest du ja noch die Ruhe, dich damit auseinanderzusetzen; wenn das große Thema "analytische Geometrie" bei Euch nicht ausgeschlossen wurde, sind solche Aufgabentypen sicher abi-relevant, denke ich.
Alles Gute,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Mo 12.04.2004 | | Autor: | Arthur |
Mein Fehler lag darin, dass ich einen falschen Fußpunkt benutzt habe.
Ich hatte vergessen 0A+0,5AC zu nehmen, habe in meiner Schusseligkeit nur 0,5 AC benutzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 17.03.2005 | | Autor: | Reiskorn |
Hi!
Wie berechnet man das Volumen des Teilkörpers??
Die "normale" Pyramide hat welches Volumen???
Ciao.
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Hi, Reiskorn,
zunächst: Ich kriege nicht - wie Arthur - C(3/4/-5) sondern C(5/4/-5) für den 4. Punkt des anfangs gesuchten Quadrates raus.
Weiter:
Das Pyramidenvolumen kannst Du auf 2 Arten berechnen:
(1) Mit Mittelstufengeometrie: V = [mm] \bruch{1}{3}*G*h
[/mm]
(G = Grundfläche; hier: Quadrat mit Seitenlänge 6, daher: 36;
h= Höhe, hier auch =6)
Also: V=72
(2) Mit Determinante: V = [mm] \bruch{1}{3}*||\overrightarrow{AB} \overrightarrow{AD} \overrightarrow{AS}||
[/mm]
(Achtung: Da die Determinante negativ sein könnte, stehen noch Betragstriche dabei!)
Für die Pyramide mit dem Trapez als Grundfläche und der Spitze S ("Teilkörper") würde ich nur die zweite Methode vorschlagen. Dabei würde ich das Trapez in ein Parallelogramm und ein Dreieck zerlegen und für beide Grundflächen die Volumina (jeweils mit Spitze S) getrennt ausrechnen. Das Ergebnis wäre die Summe beider. Ob's einfacher geht, musst Du Dir selbst mal überlegen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mo 18.04.2005 | | Autor: | LaLeLu |
Hi, ich wollte nur mal erzählen, dass genau diese Aufgabe ( nur ohne die Innkugel (wir hatten eine seperate Aufgabe zur Kugel) ) Teil unserer Vorabiturklausur was.
(Ich hätte diese wohl eher mal machen sollen :) )
LG
Pia
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 21.07.2005 | | Autor: | Kylie04 |
hallo,
Könnt ihr mal die Lösungen dieser aufgabe veröffentlichen?
ich verstehe nämlich nicht wie man das mit dem doppeltem Volumen in der Aufgabe c) macht..
Vielen dank
kylie
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Hallo Kylie,
> Könnt ihr mal die Lösungen dieser aufgabe
> veröffentlichen?
> ich verstehe nämlich nicht wie man das mit dem doppeltem
> Volumen in der Aufgabe c) macht..
> Vielen dank
> kylie
nur selber rechnen macht schlau ... 
Also:
zeige uns, wie du die Aufgabe lösen würdest (schreibe also selbst die Lösungen hier auf) und wir schaun drüber, ob alles so ok ist. Falls nicht, bekommst du hier bestimmt passgenaue Erklärungen, was du falsch gemacht hast und wie du dich verbessern kannst!
Stell' mal die Lösungen von den ersten Teilen hier zusammen und Ansätze zu Teil c), dann sehen wir weiter.
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