Abituraufgabe Analysis II < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Graphen G0 und G1 der Funktionen f0[mm] (x)=2xe^{1+x}; [/mm] x [mm] \in [/mm] R und f1[mm] (x)=(2x+1)e^{1+x}; [/mm] x [mm] \in [/mm] R
a)Weisen Sie nach, dass der Punkt T (-1|yT) ein lokaler Tiefpunkt des Graphen G0 ist und berechnen Sie yT.
Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von G0.
b) Durch einen im III. Quadranten liegenden Punkt R des Graphen G0 verlaufe eine Parallele zur y-Achse. Ihr Schnittpunkt mit der x-Achse sei P, der Koordinatenursprung sei 0.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes R so, dass das Dreieck OPR einen maximalen Flächeninhalt annimmt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Die Aufgabe ist mal wieder von der Seite
![[]](/images/popup.gif) http://www.bildung-brandenburg.de/fileadmin/bbs/unterricht_und_pruefungen/faecher_der_allgemeinbildung/mathematik/pruefungen/05_Ma_A_G.pdf
So nun zu den Problemen.
Die Aufgabe a) konnte ich noch lösen (denke ich). Hier mal meine Ergebnisse zur Kontrolle:
Die Ableitungen bleiben immer gleich der Funktion (hoffe dass das richtig ist)
Der Tiefpunkt ist (-1/-2)
Die Gerade an dem Tiefpunkt ist y=-2x-4
Der Wendepunkt ist W(-1/-2), also gleich dem Hochpunkt.
Bei b) schnalle ich dann gar nichts mehr. Muss das Dreieck einen rechten Winkel haben, damit der Flächeninhalt maximal wird? Und was hat mir der Teil mit dem Koordinatenursprung zu sagen (habe es in der Aufgabe mal unterstrichen, damit ihr es leichter findet)?
Könnte mir jemand erklären, wie ich an die Aufgabe ran gehen muss?
Vielen Dank schon mal für eure Bemühungen.
Liebe Grüße Nicole 
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Hallo!!!
Also zu a:
[mm] f_{0}=2*x*e^{1+x} [/mm] => [mm] f0'=2*e^{1+x}+2*x*(1+x)*e^{1+x}
[/mm]
Nur die ableitung muss gebildet werden um die Extremstellen(Lokal oder Global) zu bestimmen.
=> [mm] 2*e^{1+x}+2*x*e^{1+x}=0
[/mm]
=> x=-1 In die 2te Ableitung einsetzen und überprüfen ob eine positive zahl herauskommt.
Zu b.) gib den Punkten Namen Z.B P(-a|0) R(-a|-b) denn die Punkte sind ja auf derselben Geraden x=-a!!!!3 Quadrant ist bei deinem Koordinatensystem alle Punkte mit negativen x und y Werten!!!
Das dreieck muss nicht rechtweinklig sein.
So stelle mit den 3 Punkten den Flächeninhalt des dreiecks auf!!!Da gibt es eine allgeimeine Formel wo du nur die Längen durch Vektorrechnung ausrechnen musst.
Du hast 2 unbekannte a,b!!! Du weißt aber dass R in G0 ist bzw. ein punkt der Funktion sein muss!!!!
=> Nebenbedingung: f0(-a)=-b=> [mm] -2*a*e^{1-a}=-b!!!!!
[/mm]
ALLES KLAR??
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Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe sind meine Ergebnisse bei der Aufgabe a) erstmal richtig.
Bei Aufgabe b) jetzt nur noch was. So ist mir jetzt alles klar. Aber die Formel für die Flächenberechnung des Dreiecks da habe ich noch ein Problem. Ich habe nur A=[mm] \bruch{1}{2} [/mm]g [mm] \cdot [/mm] hg gefunden und die kann es ja nicht sein. (Das Thema der Aufgabe ist aber Analysis, muss da jetzt trotzdem was mit Vektoren kommen?). Und wie mache ich es dann das A maximal wird?
LG Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Mi 19.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nicky
1. Die Ableitung ist NICHT gleich der Funktion, du musst doch die Produktregel anwenden(und die Kettenregel)!
2.Ein Hoch oder Tiefpunkt ist NIE ein Wendepunkt!
Also rechne erst mal die erste Ableitung richtig, dann die zweite, die verschieden ist von der ersten.
Der Hochpunkt ist zwar richtig, aber der war ja schon gegeben.
Der Wendepunkt ist dann natürlich falsch.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mi 19.04.2006 | | Autor: | zerbinetta |
Hallo erst mal!
Vielleicht sitze ich ja auf den Augen, aber:
>
> Das dreieck muss nicht rechtweinklig sein.
>
Das sehe ich nicht! O Liegt im Koordinatenursprung und P auf der x-Achse. PR verläuft parallel zur y-Achse. Dann kann doch bei P nur ein rechter Winkel sein, oder?
Was jetzt folgt ist die Lösung eines Extremwertproblems. Um den Flächeninhalt des Dreiecks auszudrücken hast du die Grundseite (OP) und die Höhe (PR), wobei sowohl P als auch R abhängig davon sind, wo sich der Punkt P auf dem Graphen befindet. Einleuchtend? Sonst rückfragen!
Viele Grüße,
zerbinetta
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Also ist das Dreieck doch rechtwinklig und ich muss die Gleichung A=[mm] \bruch{1}{2} [/mm]ab benutzen.
Dann weiß ich noch folgendes:
R(-a/-b)
R ist Punkt auf der Funktion f0(x), daraus ergibt sich die Gleichung [mm] -b=2\cdot(-a)\cdote e^{1-a}
[/mm]
Gerade x=-a (verläuft durch R)
Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse ist P(-a/0)
Da ich ja nicht mal den Flächeninhalt gegeben habe und mit Extremwertaufgaben auf Kriegsfuß stehe weiß ich nun absolut nicht mehr weiter ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Wie gehe ich weiter vor?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe
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Natürlich ist der Flächeninhalt nicht gegeben! Du sollst doch den maximalen Flächeninhalt bestimmen!
Lass dich mal nicht von den negativen Vorzeichen verwirren. Im Prinzip kannst du hier mit Beträgen rechnen. Hast du eine Skizze des Dreiecks vor dir? Nenn mal das Stück auf der x-Achse "Grundseite" und die Seite parallel zur y-Achse "Höhe". Dann ist die Grundseite a lang und die Höhe b. Allerdings kannst du die Höhe b auch als Term von a ausdrücken (das hast du eben in deinem Post bereits getan...)
Jetzt setzt du beides in die Formel zur Flächenberechnung eines Dreiecks ein und voilá: da hast du deine Zielfunktion. Sie beschreibt den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von a. Und dieser Flächeninhalt soll nun möglichst groß werden...
Viel Erfolg!
zerbinetta
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> Natürlich ist der Flächeninhalt nicht gegeben! Du sollst
> doch den maximalen Flächeninhalt bestimmen!
> Lass dich mal nicht von den negativen Vorzeichen verwirren.
> Im Prinzip kannst du hier mit Beträgen rechnen. Hast du
> eine Skizze des Dreiecks vor dir? Nenn mal das Stück auf
> der x-Achse "Grundseite" und die Seite parallel zur y-Achse
> "Höhe". Dann ist die Grundseite a lang und die Höhe b.
> Allerdings kannst du die Höhe b auch als Term von a
> ausdrücken (das hast du eben in deinem Post bereits
> getan...)
> Jetzt setzt du beides in die Formel zur Flächenberechnung
> eines Dreiecks ein und voilá: da hast du deine
> Zielfunktion. Sie beschreibt den Flächeninhalt des Dreiecks
> in Abhängigkeit von a. Und dieser Flächeninhalt soll nun
> möglichst groß werden...
b als Term von a ausdrücken? Wie funktioniert das?
Ist die Zielfunktion dann [mm] A=\bruch{1}{2}ab [/mm] ?
Und was mache ich dann mit der anderen Gleichung die ich noch habe? In die Zielfunktion einsetzen?
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> b als Term von a ausdrücken? Wie funktioniert das?
Das hast du doch oben selbst angegeben:
[mm]-b=2*(-a)*e ^{1-a}[/mm]
> Ist die Zielfunktion dann [mm]A=\bruch{1}{2}ab[/mm] ?
Ja, wenn du alles eingesetzt hast...
> Und was mache ich dann mit der anderen Gleichung die ich
> noch habe? In die Zielfunktion einsetzen?
Andere Gleichung...?
Viele Grüße,
z.
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> Das hast du doch oben selbst angegeben:
> [mm]-b=2*(-a)*e ^{1-a}[/mm]
>
> > Ist die Zielfunktion dann [mm]A=\bruch{1}{2}ab[/mm] ?
Ah ja!
[mm]A=\bruch{1}{2}ab[/mm]
[mm]-b=2*(-a)*e ^{1-a}[/mm]
[mm]b=-2*(-a)*e ^{1-a}[/mm]
[mm]b=2a*e ^{1-a}[/mm]
[mm]A=\bruch{1}{2}a*2a*e ^{1-a}[/mm]
[mm]A=a^2*e ^{1-a}[/mm]
Davon bilde ich dann die Ableitung
[mm]A'=2a*-e ^{1-a}[/mm]
Das dann gleich Null setzen?
[mm]0=2a*-e ^{1-a}[/mm]
a=1
Deshalb ist b dann 2?
War davon jetzt irgend etas richtig? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Vielen Dank für die bisherige Hilfe
LG Nicole
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mi 19.04.2006 | | Autor: | zerbinetta |
Der Weg sieht gut aus, aber ich bin zu müde, um die einzelnen Ergebnisse zu kontrollieren - sorry! Gerne morgen wieder...
Gute Nacht,
z.
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Okay. Trotzdem vielen Danke für die bisherige Hilfe.
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So, die Lösung der Aufgabe müsste dann R(-1/-2) sein und der maximale Flächeninhalt bertägt A=1.
Könnte das jemand durchrechnen und sagen, ob meine Überlegungen richtig sind?
Danke im Vorraus
LG Nicole
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mi 19.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nicky
Leider falsch, wie ich in der letzten antwort schrieb
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mi 19.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nicky
> [mm]A=\bruch{1}{2}ab[/mm]
> [mm]-b=2*(-a)*e ^{1-a}[/mm]
> [mm]b=-2*(-a)*e ^{1-a}[/mm]
> [mm]b=2a*e ^{1-a}[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1}{2}a*2a*e ^{1-a}[/mm]
> [mm]A=a^2*e ^{1-a}[/mm]
RICHTIG
> Davon bilde ich dann die Ableitung
> [mm]A'=2a*-e ^{1-a}[/mm]
FALSCH wie bei der Funktion hast du die Produktregel nicht angewandt: (uv)'=u'v+uv'
hier [mm] u=a^{2} [/mm] richtig abgeleitet u'=2a aber wo bleibt u*v'?
> Das dann gleich Null setzen?
> [mm]0=2a*-e ^{1-a}[/mm]
> a=1
das wäre falsch: denn [mm] 2*1*e^{0}=1 [/mm] (jede Zahl hoch 0 ist eins!
> Deshalb ist b dann 2?
Wieso das?
> War davon jetzt irgend etas richtig?
Die Formel für die Fläche war richtig!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Do 20.04.2006 | | Autor: | nitro1185 |
Hallo..
Sollte nicht passieren,tut mir leid !!!!!
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Hallo!
Mit der Ableitung das stimmt natürlich. Ich habe vergessen, dass ich da die Produktregel nehmen muss. Komme bei sovielen verschiedenen Formeln, die mir bei meiner Abiturvorbereitung vor die Nasekommen, echt durcheinander. Schreibe dann nochmal meine endgültigen Lösungen ins Forum, die dann ja hoffentlich auch richtig sind.
Aber ich bedanke mich schon mal ganz herzlich bei euch. Eure Tips und Hilfestellungen haben mir auf jedem Fall weiter geholfen. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Vielen Dank
LG Nicole
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Ich habe jetzt noch mal alles durchgerechnet (mit Produktregel)
Hier meine Lösungen:
a)
Ableitungen:
[mm] f(x)=2xe^{1+x}
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{1+x}(2+2x)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{1+x}(4+2x)
[/mm]
[mm] f'''(x)=e^{1+x}(6+2x)
[/mm]
Extremum
T(-1/-2)
Gerade am Tiefpunkt
y=-2
Wendepunkt
W(-2/-1,47)
b) (Extremwertaufgabe)
Zielfunktion: A=[mm] \bruch{1}{2} [/mm]ab
Nebenbedingung: [mm] -b=-2ae^{1-a}
[/mm]
[mm] b=2ae^{1-a}
[/mm]
A(a)=[mm] \bruch{1}{2} [/mm][mm] a\cdot2ae^{1-a}
[/mm]
[mm] A(a)=a^2e^{1-a}
[/mm]
[mm] A'(a)=ae^{1-a}(2-a)
[/mm]
[mm] 0=ae^{1-a}(2-a)
[/mm]
0=2-a
a=2
[mm] A''(a)=e^{1-a}(2-4a+a^2)
[/mm]
[mm] A''(2)=e^-1(-6+2^2)
[/mm]
A''(2)=-0,74 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt (wäre es hier ein Tiefpunkte hätte ich den min. Flächeninhalt. Richtig?)
a=2
b=1,47
Amax=1,47
R(-2/-1,47)
Bitte, bitte ... sagt, dass das jetzt wenigstens größten Teils richtig ist.
LG Nicole
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| Aufgabe | c) Die Graphen G0 und G1 sowie die Geraden x=-2 und x=-1 schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie deren Flächeninhalt.
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Ich habe das jetzt mal ausgerechnent. Da mir meine Ergebnis aber nicht sehr logisch erscheinen wollte ich hier nochmal nachfragen, ob meine Lösungen richtig sind.
Zum Überprüfen hier nochmal die Funktionen:
f0[mm] (x)=2xe^{1+x}
[/mm]
f1[mm] (x)=(2x+1)e^{1+x}
[/mm]
A1= [mm] \integral_{-2}^{-1}{(2xe^{1+x}) dx}
[/mm]
A1=0,53
A2= [mm] \integral_{-2}^{-1}{(2xe^{1+x}+e{1+x}) dx}^
[/mm]
A2=0,1
A=A1-A2
A=0,43
Hört sich für mich nicht so "gut" an. Wäre nett, wenn einer nochmal überprüfen könnte, ob das richtig ist.
LG Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Do 20.04.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Nicole,
außer, dass du dich mit den Grenzen vertan hast - die Teilergebnisse sind korrekt.
[mm] A_2=-0,1
[/mm]
[mm] A=A_1-A_2=0,53-(-0,1)=0,63
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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| Aufgabe | d)Die Funktionen f0 und f1 gehören zur Funktionenschar fa mit fa[mm] (x)=(2x+a)e^{1+x}; [/mm] x [mm] \in [/mm] R; [mm] a\in [/mm] R.
Die Tangenten an den jeweiligen Graphen der Schar fa im Punkt A(-1/fa(-1)) seinen ta: y=max+na.
Leiten Sie einen funktionalen Zusammenhang zwischen na und ma für diese Tangente her.
Begründen Sie, dass es geansu eine Kurve der Schar fa gibt, deren Tangente ta mit den beiden Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck begrenzt. Ermitteln Sie den zugehörigen Parameter a. |
Hä? Hunderte Fragezeichen über meinem Gesicht.
Damit kann ich absolut garnichts mehr angfangen. Ich verstehe ja nichtmal was die hier von mir verlangen.
Könnte mir das jemand erklären? Was hier zu tuen ist?
LG Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Do 20.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
nur ganz kurz: berechne erstmal die Gleichung der Tangenten. Je nach a wird die Steigung [mm] m_a [/mm] und der Achsenabschnitt [mm] n_a [/mm] anders aussehen. Beim funktionalen Zusammenhang ist wohl gefragt, wie die beiden voneinander abhängen.
Z.b: wenn [mm] m_a=2a [/mm] ist und [mm] n_a=a^2, [/mm] dann ist [mm] n_a(m_a)=(\bruch{m_a}{2})^2
[/mm]
Für das gleichschenklige Dreieck, muss der Achsenabschnitt gleich der Nullstelle sein, bzw. Steigung -1, wenn ich mich nicht irre.
L g walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Do 20.04.2006 | | Autor: | ademcan |
Hallo,
Nach meiner Meinung bilden die x- und y-Achsen die Schenkeln des gleichschenkligen Dreieicks. Daher ist das Dreieck auch ein rechtwinkliges Dreieck, also eine Seite ist 90°, die anderen beiden Winkel müssen dann gleich, also jew. 45° sein.
Also muss die Tagente eine neg. Steigung von 45° haben, das entspricht [mm]m_t=-1[/mm]
mfg ademcan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Do 20.04.2006 | | Autor: | Walde |
Du hast natürlich recht. Ich hatte in der Eile gleichseitig gelesen, aber es ist ja gleichschenklig. Ich habe das korrigiert.
l G walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 29.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Sieht doch sehr gut aus ...
