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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 04.07.2004 | | Autor: | Lucy |
Hallo,
wer ist so lieb und zeigt mir den richtigen Ableitungsweg?
(Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.)
x= 16(27a)hoch 1/3
x= 6(8k)hoch 2/3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 So 04.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lucy!
> x= 16(27a)hoch 1/3
Lautet die Funktion so:
$f(a) = 16 [mm] \cdot (27a)^{\frac{1}{3}} [/mm] $
und soll nach $a$ abgeleitet werden?
> x= 6(8k)hoch 2/3
Lautet die Funktion so:
$g(k) = 6 [mm] \cdot (8k)^{\frac{2}{3}} [/mm] $
und soll nach $k$ abgeleitet werden?
Oder wie ist das zu verstehen? Könntest du das bitte noch einmal genauer erklären? Bitte benutze dabei unser Formelsystem.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 04.07.2004 | | Autor: | Lucy |
Hallo Stefan,
vielen Dank für Ihre schnelle Antwort. Sorry, ich glaube ich bin etwas ungeschickt mit dem mathmatischen Textsatz, aber ich versuche es es gleich nochmal.
[mm] x_a [/mm] = 16 [mm] \cdot (27a)^{\frac{1}{3}} [/mm]
[mm] x_k [/mm] = 6 [mm] \cdot (8k)^{\frac{2}{3}} [/mm]
Ableiten nach x´_a und x´_k.
Danke im voraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Lucy |
Hallo Stefan,
vielen Dank für deine Antwort. Es ist echt lieb, dass du dir so schnell Zeit dafür nimmst.  Dein Lösungsweg gefällt mir besser, aber könntest du mir auch zeigen, wie ich bei den gleichen Funktionen auf die folgenden Lösungen komme?
$ [mm] x_a' [/mm] = 144 [mm] \cdot (27a)^{\frac{-2}{3}} [/mm] $
$ [mm] x_k' [/mm] = 32 [mm] \cdot (8k)^{\frac{-1}{3}} [/mm] $
Vielen Dank im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lucy!
Okay, das kann ich natürlich auch machen.
Für
[mm] $x_a [/mm] = 16 [mm] \cdot (27a)^{\frac{1}{3}}$
[/mm]
gilt nach der Kettenregel:
[mm] $x_a' [/mm] = 27 [mm] \cdot [/mm] 16 [mm] \cdot \frac{1}{3} \cdot (27a)^{\frac{1}{3}-1} [/mm] = 144 [mm] \cdot (27a)^{\frac{-2}{3}}$.
[/mm]
Und für
[mm] $x_k [/mm] = 6 [mm] \cdot (8k)^{\frac{2}{3}}$
[/mm]
gilt, ebenfalls nach der Kettenregel:
[mm] $x_k' [/mm] = 8 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot \frac{2}{3} \cdot (8k)^{\frac{2}{3} -1} [/mm] =32 [mm] \cdot (8k)^{\frac{-1}{3}}$.
[/mm]
Frag einfach nach, wenn was unklar geblieben ist (zum Beispiel die genaue Anwendung der Kettenregel).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Lucy |
Hi Stefan,
vielen lieben Dank! Irgendwie mögen sich die Kettenregel und ich nicht besonders, aber vielleicht freunden wir uns durch deine Hilfe ja noch an. Ich verstehe zwar die normale Ableitung, aber wenn dann noch mulitplizieren dazu kommt... Bist du so lieb und erkärst mir diese auch noch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Lucy,
ich versuche mich mal an der Erklärung und hoffe so, Stefan etwas Arbeit abzunehmen.
Die Kettenregel bezieht sich als Ableitungsregel auf 2 Funktionen, die auf ein Argument hintereinander ausgeführt werden - mathematisch $(f [mm] \circ [/mm] g) (x) = f(g(x))$ und dazu die Ableitungsregel $(f [mm] \circ [/mm] g)'(x)=f'(g(x))g'(x)$.
In Deinem Fall hatten wir $ [mm] x_a [/mm] = 16 * [mm] (27a)^{\frac{1}{3}} [/mm] $.
Das Argument ist hier a -> $(f [mm] \circ [/mm] g) (a)$
Als erstes suchen wir nun die Funktion $g$, die auf das Argument $a$ als erstes angewand wird, und es scheint so, als ob man das Argument lediglich mit 27 multiplizieren soll.
Zum Test setzt man also einfach $g(x) = 27a$.
Dann haben wir $ [mm] x_a [/mm] = 16 * [mm] (g(a))^{\frac{1}{3}} [/mm] $.
Der Nenner des Bruchs im Exponenten gibt an, um welche Wurzel es sich handelt. Hier soll man also die dritte Wurzel von g(a) berechen und dann das Ergebnis mit 16 multiplizieren. Also setzt man einfach mal $f(a) = 16* [mm] (a)^{\frac{1}{3}} [/mm] $.
Man hat nun zwei Funktionen f und g, die hintereinander ausgeführt genau Deine Funktion beschreiben:
$g(x) = 27a$.
$f(a) = 16* [mm] (a)^{\frac{1}{3}} [/mm] $.
$(f [mm] \circ [/mm] g) (a) = f(g(a))=f(27a)=16 * [mm] (27a)^{\frac{1}{3}} =x_a$
[/mm]
Mit dieser Zerlegung der Ausgangsfunktion ist also klar, dass man die Kettenregel nutzen kann - in Worten äußere mal innere Ableitung - in Formel:
$(f [mm] \circ [/mm] g)'(x)=f'(g(x))g'(x)$
Also Ableitung berechnen:
$g'(a) = 27, f'(a) = 16 * [mm] \frac{1}{3} [/mm] * [mm] (a)^{\frac{1}{3}-\frac{3}{3}} [/mm] $
und nun einsetzen:
$(f [mm] \circ [/mm] g)'(x)=f'(g(x))g'(x)=f'(27a)*27=16 * [mm] \frac{1}{3} [/mm] * [mm] (27a)^{\frac{1}{3}-\frac{3}{3}} [/mm] *27$
und vereinfachen:
$(f [mm] \circ [/mm] g)'(x)=16 * [mm] \frac{1}{3} [/mm] * [mm] (27a)^{-\frac{4}{3}} [/mm] *27 = [mm] 144*(27a)^{-\frac{4}{3}}$.
[/mm]
Das Wesentliche dabei ist, zu erkennen, dass hier Funktionen miteinander verkettet werden. Ich habe mir das immer so gemerkt:
Unter einer Wurzel passiert was mit x -> Kettenregel
sin, cos, tan, etc... haben im Argument x -> Kettenregel
Diese Liste läßt sich noch fortsetzen...
Hoffe, geholfen zu haben,
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