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Bekomme die folgende Gleichung nicht abgeleitet:
[mm] \tan^{3}(t^{2}\sin(t))
[/mm]
Lösung der Aufgabe:
[mm] 3*\tan^{2}(t^{2}\sin(t))(1+\tan^{2}(t^{2}\sin(t)))(2*t*\sin(t) +t^{2}*\cos(t))
[/mm]
Dieser Teil fehlt mir [mm] (1+\tan^{2}(t^{2}\sin(t))
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure Hilfe
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Hallo mpode,
> Bekomme die folgende Gleichung nicht abgeleitet:
>
> [mm]\tan^{3}\left(t^{2}\sin\left(t\right)\right)[/mm]
Hier muß mehrmals die Kettenregel angewendet werden. Leiten wir uns dazu zunächst die Ableitung des Tangens her:
[m]\tan 'x = \left[ {\frac{{\sin x}}
{{\cos x}}} \right]'\mathop = \limits^{{\text{Quotientenregel}}} \frac{{\cos ^2 x + \sin ^2 x}}
{{\cos ^2 x}} = 1 + \left( {\frac{{\sin x}}
{{\cos x}}} \right)^2 = 1 + \tan ^2 x[/m]
Jetzt zu deinem Problem:
[m]\begin{gathered}
\left[ {\tan ^3 \left( {t^2 \sin t} \right)} \right]'\mathop = \limits^{{\text{Kettenregel}}} \left[ {\tan \left( {t^2 \sin t} \right)} \right]'3\tan ^2 \left( {t^2 \sin t} \right)\mathop = \limits^{{\text{Kettenregel}}} \left[ {t^2 \sin t} \right]'\left( {1 + \tan ^2 \left( {t^2 \sin t} \right)} \right)3\tan ^2 \left( {t^2 \sin t} \right) \hfill \\
\mathop = \limits^{{\text{Produktregel}}} \left( {2t\sin t + t^2 \cos t} \right)\left( {1 + \tan ^2 \left( {t^2 \sin t} \right)} \right)3\tan ^2 \left( {t^2 \sin t} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Viele Grüße
Karl
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