Ableitung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mi 23.09.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo, ich hätte mal wieder eine Frage, die ich mir nicht erklären kann.
Sagen wir, wir haben die Differentialgleichung
[mm] $$\dot{x(t)}=f(x)$$ [/mm]
Was würde sich ergeben, wenn ich die Ortsableitung bilden möchte, also [mm] $\frac{\partial \dot{x}(t)_i}{\partial x_i}$
[/mm]
Zum Hintergrund:
Ich habe folgenden Ausdruck im [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] $< [mm] \nabla [/mm] G(x(t)), x(t) [mm] \times \nabla H(x(t))-\dot{x}(t)>=0$.
[/mm]
Um zu zeigen ,dass $ x(t) [mm] \times \nabla H(x(t))=\dot{x}(t)$ [/mm] gilt, möchte ich die Funktion [mm] G:=$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3$ [/mm] mit $a= x(t) [mm] \times \nabla H(x(t))-\dot{x}(t)$ [/mm] definieren, denn dann gilt [mm] $\| [/mm] x(t) [mm] \times \nabla H(x(t))-\dot{x}(t)\|^2=0\Leftrightarrow [/mm] x(t) [mm] \times \nabla H(x(t))=\dot{x}(t)$
[/mm]
Aber dazu muss ich wissen, dass meine [mm] $\dot{x}(t)_i$ [/mm] nicht von [mm] $x_i$ [/mm] abhängt, sonst ist [mm] $\nabla [/mm] G [mm] \neq [/mm] a$, beziehungsweise wie sich die Ableitung nach [mm] $x_i$ [/mm] auf die Differentialgleichung auswirkt.
Danke im Voraus
MfG Hias
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> Hallo, ich hätte mal wieder eine Frage, die ich mir nicht
> erklären kann.
> Sagen wir, wir haben die Differentialgleichung
> [mm]\dot{x(t)}=f(x)[/mm]
> Was würde sich ergeben, wenn ich die Ortsableitung bilden
> möchte, also [mm]\frac{\partial \dot{x}(t)_i}{\partial x_i}[/mm]
---------------------------------------------------------
Grundsätzlich gilt für [mm]\dot{x(t)}=f(x)[/mm] :
[mm]\frac{\partial \dot{x}(t)_i}{\partial x_i}[/mm] = [mm]\frac{\partial {f}(t)_i}{\partial x_i}[/mm]
---------------------------------------------------------
>
> Zum Hintergrund:
> Ich habe folgenden Ausdruck im [mm]\mathbb{R}^3[/mm] [mm]< \nabla G(x(t)), x(t) \times \nabla H(x(t))-\dot{x}(t)>=0[/mm].
>
> Um zu zeigen ,dass [mm]x(t) \times \nabla H(x(t))=\dot{x}(t)[/mm]
> gilt, möchte ich die Funktion G:=[mm]a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3[/mm] mit
> [mm]a= x(t) \times \nabla H(x(t))-\dot{x}(t)[/mm] definieren, denn
> dann gilt [mm]\| x(t) \times \nabla H(x(t))-\dot{x}(t)\|^2=0\Leftrightarrow x(t) \times \nabla H(x(t))=\dot{x}(t)[/mm]
>
> Aber dazu muss ich wissen, dass meine [mm]\dot{x}(t)_i[/mm] nicht
> von [mm]x_i[/mm] abhängt, sonst ist [mm]\nabla G \neq a[/mm],
> beziehungsweise wie sich die Ableitung nach [mm]x_i[/mm] auf die
> Differentialgleichung auswirkt.
> Danke im Voraus
> MfG Hias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Do 24.09.2015 | | Autor: | Hias |
ja das ist mir klar, aber kann man was über diese Partielle Ableitung nach dem Ort aussagen, wenn der Ort von der Zeit abhängt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Sa 26.09.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \vec{x'}=\vektor{x_1'\\x_2'\\x_3'}
[/mm]
hängt natürlich von [mm] x_i [/mm] bzw [mm] x_i' [/mm] ab, aber das ändert nichts an [mm] \nabla G=\vec{a}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 30.09.2015 | | Autor: | Hias |
Ich hatte vergessen zu erwähnen, dass [mm] $H=\summe_{i=1}^{3} \bruch{ x_î^2}{2c_i}$, [/mm] so dass $x [mm] \times \nabla [/mm] H$ frei von [mm] $x_i$ [/mm] ist, darum hatte ich mich für die Ableitung von [mm] $\bruch{\partial \dot{x}_i(t)}{\partial x_i}$ [/mm] interessiert.
Wenn ich dich richtig verstehe, dann kann ich [mm] $\nabla [/mm] G =a$ trotdem schreiben, auch wenn ich [mm] $\dot{x}$ [/mm] nicht explizit kenne.
Warum ist das so? Es stellen sich mir zwei Fragen, wird das $x(t)$ in [mm] $\bruch{\partial \dot{x}(t)}{\partial x}$ [/mm] wie eine Variable behandelt, also z.B: [mm] $\dot{x}(t)=x_1(t)x_2(t) [/mm] -> [mm] \bruch{\dot{x}(t)}{\partial x_1}=x_2(t)$ [/mm] ?
Wenn ich es als Variable betrachte und z.B: [mm] $\dot{x}_2$ [/mm] von [mm] $x_2$ [/mm] abhängt und ich dann den Gradient von $G = [mm] a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3$ [/mm] aufstelle erhalte ich doch
[mm] $$\nabla [/mm] G= [mm] \vektor{a_1\\ a_2+x_2\bruch{\partial a_2}{\partial x_2}\\ a_3}\neq [/mm] a$$
Übersehe ich was?
Danke
MfG
Hias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 01.10.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe nichts mehr. Wenn man [mm] G=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 [/mm] schreibt, kann man doch nicht a(-2) als Funktion von [mm] (x_2) [/mm] betrachten, dann wäre die Schreibweise [mm] a_2*x_2 [/mm] doch recht sinnier? wenn a-2 nicht von x(2) abhängt, dann ist aber dein [mm] da_2/dx_2=0
[/mm]
Gruß leduart
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