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Forum "Schul-Analysis" - Ableitung

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Ableitung: ketten & quotientenregel

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	10:57 Di 20.12.2005
Autor:	hooover

Aufgabe

 gesucht ist die 1. Ableitung von f(x)=2  [mm] \bruch{e^x -4}{e^x +4}
 [/mm]

Hallo alle miteinander. Ich komme da etwas mit den gemischten Ableitungen durch einander. Wäre nett wenn mir jemand dass mal ausführlich schildern könnte. Danke
Hier ist erstmal mein Ansatz

geg.: f(x)=2  [mm] \bruch{e^x -4}{e^x +4} [/mm]

[mm] u=e^x [/mm] - 4
[mm] u'=e^x [/mm]

[mm] v=e^x [/mm] +4
[mm] v'=e^x [/mm]

       f'(x)=2  [mm] \bruch{u'*v-u*v'}{v^2} [/mm]

macht:

       f'(x)=2  [mm] \bruch{e^x(e^x+4)- e^x (e^x - 4)}{(e^x +4)^2} [/mm]

       f'(x)=2  [mm] \bruch{(e^x)^2+(e^x+4)- (e^x)^2 -(e^x - 4)}{(e^x +4)^2} [/mm]

also da stimm irgendetwas nicht

außerdem weiß ich nicht so recht was ich mit der 2 vor dem Bruch machen soll.

vielen dank schon mal

Bezug

Ableitung: falsch zusammengefasst

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:09 Di 20.12.2005
Autor:	Roadrunner

Hallo hooover!

Deine Ableitung im ersten Schritt ist völlig richtig! Dein Fehler liegt beim anschließenden Zusammenfassen:

> f'(x)=2 [mm]\bruch{e^x(e^x+4)- e^x (e^x - 4)}{(e^x +4)^2}[/mm]

> f'(x)=2 [mm]\bruch{(e^x)^2+(e^x+4)- (e^x)^2 -(e^x - 4)}{(e^x +4)^2}[/mm]

Die Klammern im Zähler ausmultipliziert ergibt:

$f'(x) \ = \ [mm] 2*\bruch{\left(e^x\right)^2 + 4*e^x - \left[\left(e^x\right)^2 - 4*e^x\right]}{\left(e^x+4\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{\left(e^x\right)^2 + 4*e^x - \left(e^x\right)^2 + 4*e^x}{\left(e^x+4\right)^2} [/mm] \ = \ ...$

Alternativ kannst Du auch im Zähler [mm] $e^x$ [/mm] ausklammern:

$f'(x) \ = \ [mm] 2*\bruch{e^x*\left(e^x+4\right) -e^x*\left(e^x-4\right)}{\left(e^x+4\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{e^x*\left[\left(e^x+4\right) - \left(e^x-4\right)\right]}{\left(e^x+4\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{e^x*\left(e^x+4 - e^x+4\right)}{\left(e^x+4\right)^2} [/mm] \ = \ ...$

> außerdem weiß ich nicht so recht was ich mit der 2 vor dem
> Bruch machen soll.

Das hast Du auch richtig gemacht: diese $2_$ bleibt als konstanter Faktor gemäß