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| Aufgabe | Warum ist die Ableitung
f´(x)=ln 2+ [mm] 2^x
[/mm]
wenn du ausgangsfunktion
[mm] f(x)=2^x [/mm] ist?
und warum ist F(x)= 1/ln2* [mm] 2^x [/mm] |
Hallo
Ich verstehe einfach nicht, wie man auf diese Ergebnisse kommt...gibt es nicht irgendwie eine Regel wie man das berechnet? Natürlich kenne ich die Kettenregel, aber ich verstehe das einfach nicht...
bitte helft mir.
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Hallo Hello-Kitty,
> Warum ist die Ableitung
> f´(x)=[mm]\ln(2)2^x[/mm]
> wenn du ausgangsfunktion
> [mm]f(x)=2^x[/mm] ist?
> und warum ist F(x)= 1/ln2* [mm]2^x[/mm]
Hier nutzt man die e-Funktion und deren Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus, aus:
[mm]\ln\left(2^x\right) = x\ln(2)[/mm] und [mm]e^{x\ln(2)}=e^{\ln\left(2^x\right)} = 2^x.[/mm]
Da du die Kettenregel kennst, kannst du sie ja hier mal auf [mm]f(x) := e^{x\ln(2)}[/mm] anwenden, indem du [mm]f'(x)[/mm] berechnest (Tipp: Die innere Funktion ist [mm]u(x) := \ln(2)x[/mm] und die äußere Funktion [mm]g(u) := e^u[/mm]). Berechne anschließend die Ableitung von [mm]F(x)[/mm] um zu erkennen, wozu man diesen Faktor [mm]\tfrac{1}{\ln(2)}[/mm] vor dem eigentlichen Funktionsterm benötigt.
Grüße
Karl
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ok, vielen Dank, das habe ich endlich verstanden!
Allerdings, was mach ich denn wenn ich nun f(x)=2^(x+2)Ab-bzw.Aufleiten muss? da verzweifle ich schon wieder....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Di 05.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ok, vielen Dank, das habe ich endlich verstanden!
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> Allerdings, was mach ich denn wenn ich nun
> f(x)=2^(x+2)Ab-bzw.Aufleiten muss? da verzweifle ich schon
> wieder....
[mm] 2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x [/mm] und das kannst du!
geht aber auch anders! immer wenn du [mm] a^{f(x)} [/mm] ableiten musst, schreib einfach [mm] a=e^{lna}, [/mm] dann hast du :
[mm] $a^{f(x)} =e^{f(x)*lna}$ [/mm] abgeleitet mit Kettenregel:
[mm] $(e^{f(x)*lna})'=e^{f(x)*lna} [/mm] *f'(x)*lna$
das geht auch wenn f(x)=x+2 ist, schneller ist in dem Fall siehe oben!
Gruss leduart
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