Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schönen Abend zusammen zusammen:
Wollt fragen, ob ihr mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen könnt.
Vielen Dank im Vorraus.
Muss für diese Fkt. eine Kurvendiskussion machen und wollt fragen, ob die 1. Abl. richtig ist. der Rest kommt noch. 
f(x) =(A *tan [mm] x)^{2}
[/mm]
f(x) = [mm] u^{2}mit [/mm] u=A tan x
[mm] f'(x)=2u*\bruch{1}{cos^{2}x}
[/mm]
[mm] =\bruch{2u}{cos^{2}x}
[/mm]
f´(x) = [mm] \bruch{2*A*tan x}{cos^{2}x}
[/mm]
|
|
| |
|
Merci
Meiner Meinung nach ist A abgeleitet = 0
|
|
|
| |
|
Hi,
> Merci
> Meiner Meinung nach ist A abgeleitet = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") natürlich das bezweifelt auch keiner aber schau mal hier:
[mm] \\f=A\cdot\\tan(x)
[/mm]
Hier kommt jetzt die Produktregel ins spiel:
[mm] \\u=A
[/mm]
[mm] \\u'=0
[/mm]
[mm] \\v=tan(x)
[/mm]
[mm] \\v'=\bruch{1}{cos²(x)}
[/mm]
[mm] \\f'(x)=u'\cdot\\v+u\cdot\\v'
[/mm]
[mm] \Rightarrow \\f'(x)=0\cdot\\tan(x)+A\cdot\bruch{1}{cos²(x)}=\bruch{A}{cos²(x)}
[/mm]
Ok?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
|
|
|
| |
|
Alles klar !!
f(x) [mm] =\bruch{4A}{cos(x)*sin(x)}
[/mm]
vereinfacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mi 24.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Alles klar !!
>
> f(x) [mm]=\bruch{4A}{cos(x)*sin(x)}[/mm]
>
> vereinfacht?
Nein.
(A* [mm] tan(x))^2=A^2* [/mm] tan²x, wobei [mm] A^2 [/mm] ein konstanter FAKTOR ist, der beim Ableiten nicht Null wird, sondern als konstanter Faktor für die zu bildende Ableitung von tan²x (oder [mm] \bruch{sin²x}{cos²x}) [/mm] erhalten bleibt.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Alles klar
f´(x) = [mm] \bruch{2A^{2}}{cos(x)*sin(x)}
[/mm]
f"(x) = u'v+v'u
[mm] =4A*(cos(x)*sin(x))+(-sin^{2}(x)+cos^{2}(x))*2A^{2}
[/mm]
Ich kann es bestimmt noch vereinfachen oder?
|
|
|
| |
|
Hi,
[mm] \\f'(x)=\bruch{2A²}{cos(x)\cdot\\sin(x)}
[/mm]
[mm] \\u=2A²
[/mm]
[mm] \\u'=0
[/mm]
[mm] \\v=cos(x)\cdot\\sin(x)
[/mm]
[mm] \\v'=cos²(x)-sin²(x)
[/mm]
Hier kannst du jetzt die Quotientenregel benutzen.
[mm] \\f''(x)=\bruch{u'\cdot\\v-u\cdot\\v'}{v^{2}}
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
[mm] f"(x)=\bruch{0*cos(x)*sin(x)-2A^{2}*(cos^{2}(x)-sin^{2}(x)}{(cos^{2}(x)-sin^{2}(x))^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2A^{2}}{cos^{2}(x)-sin^{2}(x)}
[/mm]
roichtig?!?
|
|
|
| |
|
Hi,
>
> [mm]f"(x)=\bruch{0*cos(x)*sin(x)-2A^{2}*(cos^{2}(x)-sin^{2}(x)}{(cos^{2}(x)-sin^{2}(x))^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{-2A^{2}}{cos^{2}(x)-sin^{2}(x)}[/mm]
>
> roichtig?!?
>
Wie kommst du darauf?
Heraus kommen sollte
[mm] \\f''(x)=\bruch{2A²(sin²(x)-cos²(x))}{cos²(x)\cdot\\sin²(x)}
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
Der Nenner ist doch [mm] v^{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hi,
> Der Nenner ist doch [mm]v^{2}[/mm]
Ja und im Nenner stand doch [mm] \\cos(x)\cdot\\sin(x).
[/mm]
Also ist [mm] \\v²=(cos(x)\cdot\\sin(x))²=cos²(x)\cdot\\sin²(x)
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
[mm] f(x)=(A*tan(x))^{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{2A^{2}}{cos(x)*sin(x)}
[/mm]
[mm] f"(x)=\bruch{2A^{2}(sin^{2}(x)-cos^{2}(x)}{cos^{2}(x)*sin^{2}(x)}
[/mm]
Nullstellen:
f(x)=0
[mm] f(x)=0*tan(x))^{2} [/mm] =0
keine Nullstelle
Grenzwert von [mm] x=>0/\infty
[/mm]
Ansatz: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(A*tan(x)^{2}=0
[/mm]
???
notw.für Extremwerte
1.Schritt
f'(x)=0
[mm] =\bruch{2A^{2}}{cos(x)*sin(x)} [/mm] /*cos*sin
[mm] =\bruch{2A^{2}}{x^{2}}
[/mm]
[mm] =2A^{2}*(-x^{2})=0
[/mm]
[mm] =2A^{2}=x^{2}
[/mm]
=2A=x ???
2.Schritt
x=2A einsetzen in f"(x) einsetzen
3.Schritt
x=2A einsetzen in f(x)
|
|
|
| |
|
notw. Bed. für Extremwerte
[mm] 2A^{2}*tan(x)=0
[/mm]
[mm] tan(x)=-2A^{2}
[/mm]
[mm] x=\bruch{2A^{2}}{tan}???
[/mm]
[mm] x=\bruch{2A^{2}}{\pi}
[/mm]
Ich check das wirklich nicht!
Sieht schlecht aus, schreib morgen Prüfung! ;-(
Mal schaun was für eine KD vorkommt
|
|
|
| |
|
Hallo DaniSan!
> notw. Bed. für Extremwerte
>
> [mm]2A^{2}*tan(x)=0[/mm]
> [mm]tan(x)=-2A^{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du dividierst die obige Gleichung durch [mm] $2*A^2 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ . Daraus wird dann:
[mm] $$\tan(x) [/mm] \ = \ 0$$
Und nun die Umkehrfunktion des [mm] $\tan(x)$ [/mm] anwenden ... oder sieh Dir mal den Graph der [mm] $\tan(x)$-Funktion [/mm] an, wann dieser $... \ = \ 0$ wird.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
[mm] =\bruch{1}{2A^{2}} [/mm]  )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 25.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ja:
$ [mm] 2A^{2}\cdot{}tan(x)=0 [/mm] $
Da [mm] 2A²\ne0 [/mm] bleibt nur die Möglichkeit [mm] \tan(x)=0
[/mm]
Und wie du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen kannst, heisst das:
[mm] \tan(x)=0
[/mm]
[mm] \gdw x=k*\pi (k\in\IZ [/mm] das sind also die gannzahligen Vielfachen von [mm] \pi [/mm] )
Marius
|
|
|
| |
|
Umkehrfkt. von tan(x) = arctan (x)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Do 25.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Umkehrfkt. von tan(x) = arctan (x)
Korrekt, siehe die Andere Antwort
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Do 25.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]x=\pi[/mm]
Fast, siehe die andere Antwort
Marius
|
|
|
| |
|
x=das vielfache von [mm] \pi
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo DaniSan!
Genau ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Mein 2.Schritt ist ja x=vielfache von [mm] \pi [/mm] in f"(x) ein zusetzen
Wir schreib ich dass denn hin??
f"(?)=
|
|
|
| |
|
Hallo Danisan!
Überlege Dir, welche Werte durch [mm] $\sin(k*\pi)$ [/mm] bzw. [mm] $\cos(k*\pi)$ [/mm] angenommen werden.
Dann musst Du eventuell noch in $k \ [mm] \text{gerade}$ [/mm] und $k \ [mm] \text{ungerade}$ [/mm] unterscheiden.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Also hab ich zwei Extremwerte!
|
|
|
| |
|
Hallo Danisan!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Du hast unendlich viele Extremwerte.
Und diese teilen sich in zwei verschieden Extremarten auf: in Maxima und Minima.
Genau dafür ist ja die Unterteilung in gerede und ungerade $k_$ notwendig.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
[mm] f"(sin\pi)
[/mm]
[mm] f"(-sin\pi)
[/mm]
???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 25.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nein, [mm] f''(k*\pi) [/mm] mit geradem k
Und
[mm] f''(k*\pi) [/mm] mit ungeradem k
Marius
|
|
|
| |
|
[mm] x_{1}=(k\cdot{}\pi)
[/mm]
[mm] x_{2}=(-k\cdot{}\pi)
[/mm]
[mm] f"(x_{1})=\bruch{2A^{2}(sin^{2}(x)-cos^{2}(x)}{cos^{2}(x)\cdot{}sin^{2}(x)}
[/mm]
[mm] f''(k\cdot{}\pi)=\bruch{2A^{2}(sin^{2}((k\cdot{}\pi))-cos^{2}((k\cdot{}\pi))}{cos^{2}((k\cdot{}\pi))\cdot{}sin^{2}((k\cdot{}\pi))}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Do 25.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Waum [mm] -k\pi [/mm] ?
In diesem term
$ [mm] f''(k\cdot{}\pi)=\bruch{2A^{2}(sin^{2}((k\cdot{}\pi))-cos^{2}((k\cdot{}\pi))}{cos^{2}((k\cdot{}\pi))\cdot{}sin^{2}((k\cdot{}\pi))} [/mm] $
Mache jetzt mal die Fallunterscheidung k gerade und k ungerade. Wann ist der Term >0 und wann <0?
Marius
|
|
|
| |
|
Mache jetzt mal die Fallunterscheidung k gerade und k ungerade. Wann ist der Term >0 und wann <0?
k gerade >0 TP
k ungerade<0 HP
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Do 25.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Mache jetzt mal die Fallunterscheidung k gerade und k
> ungerade. Wann ist der Term >0 und wann <0?
>
> k gerade >0 TP
> k ungerade<0 HP
Sieht gut aus
Marius
|
|
|
| |
|
[mm] f''(k\cdot{}\pi)=\bruch{2A^{2}(sin^{2}((k\cdot{}\pi))-cos^{2}((k\cdot{}\pi))}{cos^{2}((k\cdot{}\pi))\cdot{}sin^{2}((k\cdot{}\pi))}
[/mm]
Vereinfachen?
[mm] \bruch{2A^{2}-cos^{2}(k\cdot{}\pi)}{cos^{2}(k\cdot{}\pi)}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Do 25.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das passt so nicht. Wenn du evtl mal Zwischenschritte postest, können wir den Fehler evtl finden. (Ich vermute mal,du hast aus der Differenz im Zähler gekürzt)
Aber wozu willst du das vereinfachen? Die Untersuchung auf Hoch und Tiefpunkte hast du ja schon.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:41 Do 25.09.2008 | | Autor: | DaniSan22 |
[mm] TP=(k\cdot{}\pi/?)
[/mm]
[mm] HP=-(k\cdot{}\pi/?)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Do 25.09.2008 | | Autor: | DaniSan22 |
Mit dem Erg. von [mm] f"(k\cdot{}\pi)kann [/mm] ich doch erst entscheiden ob es ein HP oder TP ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Do 25.09.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Danisan!
Leider ist hier gleich zu Beginn ein Fehler gemacht worden, der sich durch den ganzen Thread zieht.
Die 1. Ableitung zu [mm] $f_A(x) [/mm] \ = \ [mm] \left[A*\tan(x)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] A^2*\tan^2(x)$ [/mm] lautet nämlich:
[mm] $$f_A'(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*A^2*\bruch{\tan(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] 2*A^2*\bruch{\sin(x)}{\cos^3(x)} [/mm] \ = \ [mm] 2*A^2*\left[\tan(x)+\tan^3(x)\right]$$
[/mm]
Damit ist natürlich auch Deine 2. Ableitung falsch.
Diese lautet:
[mm] $$f_A''(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*A^2*\left[1+4*\tan^2(x)+3*\tan^4(x)\right]$$
[/mm]
Und diese ist stets positiv: [mm] $f_A''(x) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 2*A^2*1 [/mm] \ = \ [mm] 2*A^2 [/mm] \ > \ 0$ für $A \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Deine Funktion hat also ausschließlich Tiefpunkte!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
. . . . 