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| Aufgabe | Es sei [mm] \phi_k [/mm] = [mm] \bruch{k!}{(2k)!} \bruch{d^k}{dx^k} (x^2-1)^k [/mm] , k= 0,...,n
Zeigen Sie:
(i) [mm] {\phi_k}_k [/mm] sind bezüglich des euklidischen oder [mm] L^2-Skalarprodukts, [/mm] (f,g) = [mm] \integral_I{f(x)g(x) dx} [/mm] über I = [-1,1] orthogonal. |
Hallo zusammen!
Zuallererst stellt sich mir die Frage, was mit [mm] \bruch{d^k}{dx^k}(x^2-1)^k [/mm] gemeint ist. Soll das die k-te Ableitung von [mm] (x^2-1)^k [/mm] bedeuten? Wenn ja, wie kann ich das in meiner Aufgabe benutzen?
Bisher habe ich leider nur:
[mm] <\phi_k,\phi_n> [/mm] = [mm] <\bruch{k!}{(2k)!} \bruch{d^k}{dx^k} (x^2-1)^k,\bruch{n!}{(2n)!} \bruch{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n> [/mm] = [mm] \bruch{k!}{(2k)!} \cdot \bruch{n!}{(2n)!}<\bruch{d^k}{dx^k} (x^2-1)^k, \bruch{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n>
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\phi_k[/mm] = [mm]\bruch{k!}{(2k)!} \bruch{d^k}{dx^k} (x^2-1)^k[/mm]
> , k= 0,...,n
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> Zeigen Sie:
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> (i) [mm]{\phi_k}_k[/mm] sind bezüglich des euklidischen oder
> [mm]L^2-Skalarprodukts,[/mm] (f,g) = [mm]\integral_I{f(x)g(x) dx}[/mm] über
> I = [-1,1] orthogonal.
> Hallo zusammen!
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> Zuallererst stellt sich mir die Frage, was mit
> [mm]\bruch{d^k}{dx^k}(x^2-1)^k[/mm] gemeint ist. Soll das die k-te
> Ableitung von [mm](x^2-1)^k[/mm] bedeuten?
Ja
> Wenn ja, wie kann ich das
> in meiner Aufgabe benutzen?
Die Polynome [mm] \phi_n [/mm] nennt man Legendresche Polynome.
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H.Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen.
Dort findest Du ab Seite 272 eine Fülle von Eigenschaften dieser Polynome
FRED
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> Bisher habe ich leider nur:
>
> [mm]<\phi_k,\phi_n>[/mm] = [mm]<\bruch{k!}{(2k)!} \bruch{d^k}{dx^k} (x^2-1)^k,\bruch{n!}{(2n)!} \bruch{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n>[/mm]
> = [mm]\bruch{k!}{(2k)!} \cdot \bruch{n!}{(2n)!}<\bruch{d^k}{dx^k} (x^2-1)^k, \bruch{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n>[/mm]
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