Ableitung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 So 25.11.2012 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit
a) [mm] f(x)=\bruch{1}{(x-1)^{2}}
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{x+1}{e^{x}}
[/mm]
c) [mm] f(a)=\wurzel{ax^{2}-3} [/mm] |
Hallo :)
Ich bin mir nicht sicher,ob die Ableitungen richtig sind:
a) [mm] f(x)=\bruch{1}{(x-1)^{2}}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{1}{x}=x^{-1}
[/mm]
[mm] h(x)=(x-1)^{2}
[/mm]
[mm] g'(x)=-1x^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
h'(x)=2(x-1)=2x-2
f'(x)= g'( h(x))*h'(x)
[mm] =1(x-1)^{2}*^{\bruch{-1}{2}}*(2x-2)
[/mm]
[mm] \bruch{2x-2}{(x-1)}
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{x+1}{e^{x}}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{x}{e^{x}}
[/mm]
h(x)=x+1
[mm] g'(x)=-x*e^{-x}
[/mm]
h'(x)=1
[mm] f'(x)=-x*e^{-(x+1)}*1
[/mm]
[mm] -x*e^{-x-1}
[/mm]
c) [mm] f(a)=\wurzel{ax^{2}-3}
[/mm]
[mm] g(a)=\wurzel{a}=a^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] h(a)=ax^{2}-3
[/mm]
[mm] g'(x)=\bruch{1}{2}a^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] h'(x)=x^{2}
[/mm]
[mm] f'(a)=\bruch{1}{2}(ax^{2}-3)^{-\bruch{1}{2}}*x^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,5x^{2}}{\wurzel{(ax^{2}-3)}}
[/mm]
Danke !!!
|
|
| |
|
Hallo,
leider haben sich hier ein paar Fehler eingeschlichen:
zu a) Du hast richtig erkannt, dass es sich um eine verkettete Funktion handelt. Die äußere Funktion ist aber nicht 1/x sondern g(x)=[mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]. Die innere Funktion ist demnach h(x)=(x-1). Leite es noch mal richtig. Zur Kontrolle: [mm]f'(x)=\bruch{-2}{(x-1)^{3}}[/mm].
Zu b) Hier erkennst du auch die Verkettung nich richtig. Im Prinzip ist hier nichts verkettet. Es ist einfach ein Quotient aus zwei Funktionen. Diesen kannst du mit der Quotientenregel ableiten. Zur Kontrolle: [mm]f'(x)=\bruch{-x}{e^{x}}[/mm].
Zu c) Das ist richtig!
Grüße, Daniel
|
|
|
| |
|
Moin moin,
> Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit
>
> a) [mm]f(x)=\bruch{1}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
> b) [mm]f(x)=\bruch{x+1}{e^{x}}[/mm]
>
> c) [mm]f(a)=\wurzel{ax^{2}-3}[/mm]
> Hallo :)
>
> Ich bin mir nicht sicher,ob die Ableitungen richtig sind:
>
> a) [mm]f(x)=\bruch{1}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]g(x)=\bruch{1}{x}=x^{-1}[/mm]
>
> [mm]h(x)=(x-1)^{2}[/mm]
>
> [mm]g'(x)=-1x^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> h'(x)=2(x-1)=2x-2
>
> f'(x)= g'( h(x))*h'(x)
>
> [mm]=1(x-1)^{2}*^{\bruch{-1}{2}}*(2x-2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x-2}{(x-1)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du könntest die Quotientenregel verwenden:
Ist [mm] f=\frac{u}{v}, [/mm] dann ist [mm] f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. (v\not=0)
[/mm]
Oder du schreibst f(x) als [mm] f(x)=(x-1)^{-2}
[/mm]
Deine innere Funktion ist dann h(x)=x-1 und die äußere Funktion [mm] g(z)=z^{-2}
[/mm]
Dann ist f'=h'*g'
>
>
> b) [mm]f(x)=\bruch{x+1}{e^{x}}[/mm]
>
> [mm]g(x)=\bruch{x}{e^{x}}[/mm]
>
> h(x)=x+1
Hier passt was nicht. g und h passen nicht zusammen.
>
> [mm]g'(x)=-x*e^{-x}[/mm]
>
> h'(x)=1
>
> [mm]f'(x)=-x*e^{-(x+1)}*1[/mm]
>
> [mm]-x*e^{-x-1}[/mm]
fast richtig.
>
>
>
> c) [mm]f(a)=\wurzel{ax^{2}-3}[/mm]
>
> [mm]g(a)=\wurzel{a}=a^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]h(a)=ax^{2}-3[/mm]
>
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{2}a^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
Nicht g'(x), sondern g'(a), wobei a hier nicht die optimale Lösung ist, denn schließlich substituierst du den Radikanden. Besser wäre, wenn du [mm] z:=ax^{2}-3 [/mm] und so die Funktion [mm] g(z)=z^{1/2} [/mm] erhältst.
>
> [mm]h'(x)=x^{2}[/mm]
>
> [mm]f'(a)=\bruch{1}{2}(ax^{2}-3)^{-\bruch{1}{2}}*x^{2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{0,5x^{2}}{\wurzel{(ax^{2}-3)}}[/mm]
Die Benennung deiner Funktionen ist einfach unglücklich gewählt. Du würfelst hier die Variablen hin und her. Das ist echt nicht gut.
Die innere Funktion wäre
Aber dennoch stimmt das Ergebnis!
Schau bei a) und b) noch einmal drüber!
>
>
> Danke !!!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Di 27.11.2012 | | Autor: | luna19 |
Danke !!
|
|
|
|
