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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 So 21.05.2006 | | Autor: | chris_57 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Anzahl, Lage und Vielfachheit aller nullstellen der Funktion F in Abhängigkeit von k.
f(x)= [mm] \bruch{1}{3}*(x²-k²)*(2x+2k) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
also ich habe jetzt schonmal f(k) vereinfacht:
[mm] f(x)=\bruch{2}{3}*(x+k)²*(x-k)
[/mm]
Aber jetzt setzt es bei mir aus - wie komme ich jetzt zu ersten Ableitung, damit ich die Nullstellen berechnen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 So 21.05.2006 | | Autor: | AXXEL |
HI !
Für die Nullstellen brauchst du doch gar keine erste Ableitung !
Du musst lediglich f(x) = 0 setzen !
AXXEL
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 21.05.2006 | | Autor: | chris_57 |
Stimmt - das hab ich vergessen.
Aber eine Aufgabe weiter muss ich die Extrempunkte berechnen.
und dafür brauch ich ja dann die Ableitung.
Aber nochmal zu den Nullstellen - wie würdest du es am besten machen mit dem Nullsetzen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 21.05.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo chris_57!
Ich kann deine "Vereinfachung", die du am Anfang vornimmst, nicht nachvollziehen. Nehmen wir die Funktion, wie sie in der Aufgabenstellung steht.
Wir setzen
[mm] $f_k(x)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{1}{3}(x^2-k^2)\cdot [/mm] (2x+2k)=0$
Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Daraus folgt, dass entweder
[mm] $(x^2-k^2)=0 \vee [/mm] (2x+2k)=0$ ist.
Das musst du nun jeweils nach x auflösen.
Liebe Grüße
Seppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 21.05.2006 | | Autor: | chris_57 |
Also wäre dann die Lösung
[mm] N_{1}=(-k/0)
[/mm]
[mm] N_{2}=(-k²/0)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 21.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also wäre dann die Lösung
>
> [mm]N_{1}=(-k/0)[/mm]
> [mm]N_{2}=(-k²/0)[/mm]
Nein.
Du hast die Gleichung [mm] $\frac{2}{3} (x^2 [/mm] - [mm] k^2) [/mm] (x + k) = 0$. Das ist genau dann der Fall, wenn $x + k = 0$ oder [mm] $x^2 [/mm] - [mm] k^2 [/mm] = 0$ ist.
Nun ist $x + k = 0$, wenn $x = -k$ ist. Also ist $x = -k$ eine Nullstelle (das hattest du schon richtig).
Nun ist [mm] $x^2 [/mm] - [mm] k^2 [/mm] = 0$, wenn [mm] $x^2 [/mm] = [mm] k^2$ [/mm] ist, also wenn $|x| = |k|$ ist, oder anders geschrieben, wenn $x = k$ oder $x = -k$ ist. Du hast also Nullstellen $x = k$ und $x = -k$.
Aber arbeite besser mit deiner umgeformten Variante, da kann man das ja schon direkt ablesen...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 So 21.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich kann deine "Vereinfachung", die du am Anfang vornimmst,
> nicht nachvollziehen.
Es ist [mm] $\frac{1}{3}(x^2-k^2)\cdot [/mm] (2x+2k) = [mm] \frac{1}{3} [/mm] (x - k) (x + k) 2 (x + k) = [mm] \frac{2}{3} [/mm] (x - k) (x + [mm] k)^2$.
[/mm]
Daraus sieht man auch sofort:
Ist $k = 0$, so ist dies gleich [mm] $\frac{2}{3} x^3$. [/mm] Somit hat es eine dreifache Nullstelle im Ursprung.
Ist $k [mm] \neq [/mm] 0$, so ist $-k [mm] \neq [/mm] +k$, und die Funktion hat eine doppelte Nullstelle in $x = -k$ und eine einfache in $x = k$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 So 21.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> und dafür brauch ich ja dann die Ableitung.
Wo ist denn das Problem mit der Ableitung bestimmen? Das machst du am besten per Produkt- (fuer $(x - k) [mm] \cdot [/mm] (x + [mm] k)^2$) [/mm] und Kettenregel (fuer $(x + [mm] k)^2$).
[/mm]
LG Felix
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Ein Produkt wird imme dann Null, wenn einer der Faktoren dieses Produkts Null ist. ;)
Gruß
Alex
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