Ableitung bilden < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Leiten Sie ab:
f(x) = (2x - 3) * [mm] e^x
[/mm]
g(x) = x * (1-x)²
h (x) = (2x - 3)³ * 3x
i (x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] e^x
[/mm]
b) In welchen Punkten haben die Graphen waagerechte Tangenten?
c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der x-Achse. Welche Steigung haben die Tangenten an den Graphen in diesen Punkten? |
a) f'(x) = [mm] 2e^x [/mm] + (2x-3) * [mm] e^x [/mm]
= [mm] e^x [/mm] (2x - 1)
g' (x) = (1-x)² + x * 2 * (1-x) * -1
= (1-x)² - 2x (1-x)
Kann man den Term weiterhin vereinfachen?
h'(x) = 3* (2x-3) * 2 * 3x + 3(2x-3)²
= 6 (2x-3) * 3x + 3(2x-3)²
Und den?
i (x) = x^-1 * [mm] e^x
[/mm]
i' (x) = -x^-2 * [mm] e^x [/mm] + x^-1 * [mm] e^x
[/mm]
= [mm] e^x [/mm] (-x^-2 + x^-1)
Ist das richtig?
b) Waagerechte Tangente bedeutet doch, an dem Punkt muss die Ableitung = 0 sein, oder? Also wäre das Einfach die Extremstelle?
c) Nullstellen berechnen und dann eine Tangentengleichung aufstellen? Aber woher weiß ich dann, welche Steigung die Tangente hat?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> b) Waagerechte Tangente bedeutet doch, an dem Punkt muss
> die Ableitung = 0 sein, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
> Also wäre das Einfach die Extremstelle?
Das muss nicht zwangsläufig so sein. Denke an Sattelpunkte ... Beispiel: $y \ = \ [mm] x^3$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Wenn ich nun = 0 rausbekommen würde, müsste ich dann nicht +/-1 in die Gleichung einsetzen, also den Vorzeichenwechsel machen?
Wenn ja, was ist denn gegeben, wenn das Vorzeichen von - nach + oder umgekehrt wechselt?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wenn ich nun = 0 rausbekommen würde, müsste ich dann
> nicht +/-1 in die Gleichung einsetzen, also den
> Vorzeichenwechsel machen?
Nein.
In der Aufgabe b) ist verlangt nach Tangenten mit Steigung 0.
Also musst du nur schauen, für welche x die Ableitung = 0 ist.
(denn: Tangentensteigung = 1. Ableitung)
Loddar hat nur gesagt, dass aus 1. Ableitung = 0 nicht unbedingt eine Extremstelle folgt.
> Wenn ja, was ist denn gegeben, wenn das Vorzeichen von -
> nach + oder umgekehrt wechselt?
Wenn die 1. Ableitung in der Umgebung von einer Stelle $x$ mit $f'(x) = 0$ einen Vorzeichenwechsel durchführt, liegt eine Extremstelle vor.
Ob eine Extremstelle vorliegt, würde ich aber eher mit der 2. Ableitung nachprüfen.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> c) Nullstellen berechnen und dann eine Tangentengleichung
> aufstellen? Aber woher weiß ich dann, welche Steigung die
> Tangente hat?
Die Tangentengleichung im Ganzen benötigst Du gar nicht.
Und die Steigung der Tangenten wird doch gerade durch den Wert der 1. Ableitung an der jeweiligen Stelle angegeben.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Also f'(x) bilden, und den x Wert der Nullstelle einsetzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Also f'(x) bilden, und den x Wert der Nullstelle einsetzen?
Genau.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier stimmen jeweils die Exponenten der Klammern nicht.
