Ableitung der E-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:15 Do 17.06.2010 | | Autor: | Zizou05 |
| Aufgabe | Sei f mit [mm] f(x)=e^x [/mm] die natürliche Exponentialfunktion.
Aufgrund der Funktionatgleichung [mm] f´(x)=f(x)\cdot [/mm] f´(0) genügt es zu zeigen, dass f`(0)=1 ist.
e ist definiert durch: [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n.
[/mm]
f´(0) ist definiert durch: [mm] f`(0)=\limes_{h\rightarrow\ 0}(\bruch{e^((0+h)-e^0)}{h})
[/mm]
Sie können nun mir einer Folgerungskette schließen: Aus [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] folgt: [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}(\bruch{e^((0+h)-e^0}{h})=1
[/mm]
Verändern Sie dazu in der ersten Aussage zunächst die Laufvariable n durch: [mm] h=ln(\bruch{1}{n+1}).
[/mm]
Überlegen sie sich, wie sich dann der Therm [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] verhält, und dass statt [mm] n\rightarrow\infty [/mm] nu [mm] h\rightarrow\ [/mm] 0 läuft. Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung erhalten Sie: [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} (h/e^h-1)=1
[/mm]
Daraus lässt sich wieder mithilfe einiger Umformungen die zu zeigende Aussage herleiten. |
Kann mir jemand den Beweis für die Ableitung der e-Funktion vorrechnen? Ich habe leider keine Ahnung wie man hierbei vorgehen muss.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zizou05 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sei f mit [mm]f(x)=e^x[/mm] die natürliche Exponentialfunktion.
> Aufgrund der Funktionatgleichung [mm]f´(x)=f(x)\cdot[/mm] f´(0)
> genügt es zu zeigen, dass f'(0)=1 ist.
> e ist definiert durch:
> [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n.[/mm]
> f´(0) ist definiert durch: [mm]f'(0)=\limes_{h\rightarrow\ 0}(\bruch{e^((0+h)-e^0)}{h})[/mm]
>
> Sie können nun mir einer Folgerungskette schließen: Aus
> [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] folgt:
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}(\bruch{e^((0+h)-e^0}{h})=1[/mm]
>
> Verändern Sie dazu in der ersten Aussage zunächst die
> Laufvariable n durch: [mm]h=ln(\bruch{1}{n+1}).[/mm]
> Überlegen sie sich, wie sich dann der Therm
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] verhält, und dass statt
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm] nu [mm]h\rightarrow\[/mm] 0 läuft. Durch
> Anwenden des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der
> Gleichung erhalten Sie: [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} (h/e^h-1)=1[/mm]
>
> Daraus lässt sich wieder mithilfe einiger Umformungen die
> zu zeigende Aussage herleiten.
> Kann mir jemand den Beweis für die Ableitung der
> e-Funktion vorrechnen? Ich habe leider keine Ahnung wie man
> hierbei vorgehen muss.
> Danke
>
Du solltest mal die Forenregeln lesen: wir erwarten hier wenigstens ein paar kleine Ideen, was du dir so überlegt hast.
Fertige Lösungen oder Beweise sind hier verpönt.
Eigentlich steht ja oben schon, wie du vorgehen sollst. Was verstehst du konkret dort nicht? Hast du überhaupt schon probiert?
Gruß informix
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