Ableitung der Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f: \IR\mapsto\IR, f(x) := x + x^{2}[/mm], umkehrbar ist.
Berechnen Sie dann die Ableitung der Umkehrfunktion [mm]f^{-1}:\IR\mapsto\IR[/mm] im Punkt [mm]y_{0} = 1[/mm] und den Grenzwert
[mm] \limes_{y\rightarrow-\infty}\left(f^{-1}\right)'(y)[/mm] |
[mm]f(x) = x + e^{x}[/mm]
Funktion ist streng monoton wachsend da [mm]f'(x) > 0[/mm], also existiert die Umkehrfunktion. Ich konnte aber keine Darstellung finden bzw. herleiten.
Aber: [mm](f^{-1}'(x))*f'(x) = 1[/mm]
Also ist [mm]f^{-1}'(x) = \bruch{1}{f'(x)} [/mm] ?
Ist das so überhaupt korrekt?
Mfg
Dally
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich nehme einmal an, daß deine Funktion
[mm]y = f(x) = x + \operatorname{e}^x \, , \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
heißen soll (im Eingangssatz heißt es bei dir da nämlich anders). Du hast richtig die Umkehrbarkeit erkannt. Der Wertebereich von [mm]f[/mm] ist übrigens [mm]\mathbb{R}[/mm] (betrache [mm]x \to \pm \infty[/mm]), so daß [mm]f^{-1}[/mm] für alle reellen Zahlen definiert ist. Es gibt allerdings keine Möglichkeit, für die Umkehrfunktion eine Formel anzugeben, die allein auf die Grundfunktionen der Analysis zurückgreift.
Die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion hast du nicht richtig hingeschrieben. Korrigiert lautet sie:
[mm]\left( f^{-1} \right)'(y) \cdot f'(x) = 1 \ \ \text{mit} \ \ y = f(x)[/mm]
Die Variablen [mm]x,y[/mm] dürfen also nicht unabhängig voneinander gewählt werden, sondern sind über die Gleichung [mm]y = f(x)[/mm] oder gleichwertig [mm]x = f^{-1}(y)[/mm] aneinander gebunden.
Ein einfaches Beispiel zum besseren Verständnis:
[mm]y = g(x) = x^2 \ \ \mbox{für} \ x \geq 0[/mm]
Da der Definitionsbereich nur die nichtnegativen reellen Zahlen umfaßt, ist [mm]g[/mm] umkehrbar (strenge Monotonie). Der Wertebereich besteht ebenfalls aus den nichtnegativen reellen Zahlen. Die Umkehrfunktion [mm]g^{-1}[/mm] ist also gerade die Wurzelfunktion: [mm]x = g^{-1}(y) = \sqrt{y}[/mm].
Wie kann man nun [mm](g^{-1})' (9)[/mm] mit der obigen Formel berechnen?
Man sucht zunächst zu [mm]y=9[/mm] das zugehörige [mm]x[/mm] mit [mm]y = x^2[/mm]. Das ist offensichtlich [mm]x=3[/mm]. Daher liefert die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion
[mm]\left( g^{-1} \right)'(9) \cdot g'(3) = 1[/mm]
Und da [mm]g'(x) = 2x[/mm], also [mm]g'(3) = 6[/mm] ist, folgt:
[mm]\left( g^{-1} \right)'(9) \cdot 6 = 1 \ \ \Rightarrow \ \ \left( g^{-1} \right)'(9) = \frac{1}{6}[/mm]
Damit hat die Wurzelfunktion an der Stelle [mm]9[/mm] die Ableitung [mm]\frac{1}{6}[/mm].
Und jetzt versuche, das auf deine Aufgabe umzuschreiben. Bei dir ist [mm]y=1[/mm]. Du mußt daher zuerst das korrespondierende [mm]x[/mm] mit [mm]f(x) = 1[/mm] finden. Nach der Theorie kann es nur ein solches [mm]x[/mm] geben (du hast die Umkehrbarkeit ja bereits nachgewiesen). Und das findet man leicht durch Probieren.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 21.05.2006 | | Autor: | Dally |
Ich weiß jetzt nicht ob ich das richtig verstanden habe.
Also: [mm]f(x) = e^{x} + x[/mm], für [mm]x = 0 [/mm] ergibt sich:[mm]
f(0) = e^{0} + 0 = 1
[/mm]
Und da [mm]f'(x) = e^x [/mm], also[mm] f'(0) = 1,[/mm] folgt[mm] (f^{-1})'(1)*1 = 1 [/mm] also [mm] f^{-1}(1) = 1 [/mm]
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Du hast das richtig verstanden. Dennoch stimmt dein Ergebnis nicht - allerdings einer ganz anderen Sache wegen. Du hast nämlich bei der Berechnung von [mm]f'(x)[/mm] einen "dummen" Fehler gemacht. Rechne noch einmal nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 25.05.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f: \IR\mapsto\IR, f(x) := x + x^{2}[/mm], umkehrbar ist.
Berechnen Sie dann die Ableitung der Umkehrfunktion [mm]f^{-1}:\IR\mapsto\IR[/mm] im Punkt [mm]y_{0} = 1[/mm] und den Grenzwert
[mm] \limes_{y\rightarrow-\infty}\left(f^{-1}\right)'(y)[/mm] |
Hi,
ja bei der Ableitung hab ich wirklich mist gebaut.
Danke üprigens für die Erklährung.
Ich habe bis jetzt folgendes:
[mm]f[/mm] ist streng monoton wachsend da [mm](f'(x) = e^{x}) > 0 [/mm].
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x) = 0 + (- \infty) = -\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \infty [/mm].
Also ist die Funktion bijektiv und damit umkehrbar.
[mm]f(x) = e^{x} + x[/mm], für [mm]x = 0 [/mm] ergibt sich:[mm]
f(0) = e^{0} + 0 = 1
[/mm]
Benutze: [mm](f^{-1}'(y))*f'(x) = 1[/mm]
Daraus folgt: [mm]f^{-1}'(y) = \bruch{1}{f'(x)} [/mm]
[mm]y_{0} = 1[/mm] und [mm]f'(x) = e^x + 1 [/mm], also[mm] f'(0) = e^0 + 1 = 2.[/mm]
Also[mm] (f^{-1})'(1)*2 = 1 [/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] (f^{-1})'(1) = \bruch{1}{2} [/mm]
Ist das soweit korrekt?
Und ich verstehe nicht wie ich den Grenzwert [mm] \limes_{y\rightarrow-\infty}\left(f^{-1}\right)'(y)[/mm] berechnen soll?
Hat jemand einen kleinen Tip?
Vielen Dank schonmal im Vorraus.
Mfg
Dally
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Im Prinzip ist das so korrekt. Noch ein kleiner Schreibfehler ganz am Anfang: Auch dort [mm]f'(x)[/mm] korrigieren.
Allein aus der strengen Monotonie folgt schon die Umkehrbarkeit. Das hat mit dem Randverhalten nichts zu tun. Das Randverhalten liefert dir lediglich den Wertebereich von [mm]f[/mm] und damit den Definitionsbereich von [mm]f^{-1}[/mm].
[mm]y = f(x)[/mm]
Da [mm]f[/mm] streng monoton wächst, zieht (jetzt braucht man auch das Randverhalten!) [mm]x \to - \infty[/mm] den Grenzübergang [mm]y \to - \infty[/mm] nach sich (und umgekehrt).
Laß daher in der Gleichung
[mm]\left( f^{-1} \right)'(y) = \frac{1}{f'(x)}[/mm]
einfach [mm]x \to - \infty \ (y \to - \infty)[/mm] gehen.
Man kann das übrigens auch am Bild aus meinem ersten Beitrag sehen. Es zeigt den Graphen von [mm]f^{-1}[/mm] nach Umbenennung der Variablen: [mm]y = f^{-1}(x)[/mm]. Diese Umbenennung kann man durchführen, wenn die ganze Arbeit erledigt ist und man nicht mit [mm]x,y{[/mm] im Kontext der Ableitungsformel für Funktion und Umkehrfunktion arbeitet.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:49 Do 25.05.2006 | | Autor: | Dally |
Danke erstmal.
Uns was ist mit dem Grenzwert?
Könnte man das so machen:
[mm]f(x) = e^x + x[/mm] für x gegen [mm] \infty [/mm] ergibt sich
[mm]f(\infty) = e^{\infty} + \infty = \infty[/mm]
Benutze: [mm](f^{-1}'(y))*f'(x) = 1[/mm]
Daraus folgt: [mm]f^{-1}'(y) = \bruch{1}{f'(x)} [/mm]
[mm]f'(x) = e^x + 1,
f'(\infty) = e^{\infty} + 1 = \infty + 1 = \infty
f^{-1}'(y) = \bruch{1}{f'(\infty)} = \bruch{1}{\infty}
\limes_{y\rightarrow\infty}f^{-1}'(y) =
\limes_{y\rightarrow\infty}\bruch{1}{f'(\infty)} =
\limes_{y\rightarrow\infty}\bruch{1}{\infty} = 0
[/mm]
????
Mfg
Dally
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 So 28.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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