Ableitung der Umkehrfunktion < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Do 14.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitung direkt und durch Ableiten der Umkehrfunktion:
[mm] f(x)=\wurzel[3]{x} [/mm] g(x) = [mm] ln(\wurzel{tan(x)}) [/mm] |
Hallo Zusammen,
also als als erste jeweils direkt abgeleitet:
[mm] f(x)=\wurzel[3]{x} [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{3} \cdot{} x^{-\bruch{2}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3 \cdot{} \wurzel[3]{x²}}
[/mm]
Nun ist die Ableitung der Umkehrfunktion gesucht, dies ist wie folgt definiert:
g'(y) = [mm] \bruch{1}{f'(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \bruch{1}{3 \cdot{} \wurzel[3]{x²}}} [/mm] = 3 [mm] \cdot{} \wurzel[3]{x²} [/mm] = 3 [mm] \cdot{} x^{\bruch{2}{3}} [/mm] = 3 [mm] \cdot{} x^{2 \cdot{}\bruch{1}{3}} [/mm] = 3 [mm] \cdot{} (x^{\bruch{1}{3}})^2 [/mm] = 3 [mm] \cdot{} y^2
[/mm]
Nun noch die Variablen vertauschen g'(x) = 3x²
Stimmt dies soweit?
g(x) = [mm] ln(\wurzel{tan(x)})
[/mm]
Bei der Ableitung habe ich zweimal die Kettenregel verwendet und die Ableitung tan x = [mm] \bruch{1}{cos²x} [/mm] = 1+tan²x umgeformt. Somit erhalte ich
g'(x) = [mm] \bruch{1+tan²x}{2 \cdot{} tanx}
[/mm]
Ableitung Umkehrfunktion:
g'(y) = [mm] \bruch{1}{g'(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1+tan²x}{2 \cdot{} tanx}} [/mm] = [mm] \bruch{2 \cdot{} tanx}{1+tan²x}
[/mm]
Ich weiß nun noch das y = [mm] ln(\wurzel{tan(x)}), [/mm] ich finde hierbei aber keine Umformung des Terms, um dann y einsetzen zu können. Wie würde das gehen?
Ich habe dann direkt die Umkehrfunktion gesucht:
y = [mm] ln(\wurzel{tan(x)}) [/mm]
[mm] e^y [/mm] = [mm] \wurzel{tan(x)}
[/mm]
[mm] e^{2y} [/mm] = tan x -> x = [mm] arctan(e^{2y})
[/mm]
Diesen Wert habe ich dann in die Ableitung der Umkehrfunktion eingesetzt:
g'(y) = [mm] \bruch{2 \cdot{} tan[arctan(e^{2y})]}{1+tan[arctan(e^{2y})]^2} [/mm] = [mm] \bruch{2e^{2y}}{1+e^{4y}}
[/mm]
g'(x) = [mm] \bruch{2e^{2x}}{1+e^{4x}}
[/mm]
Dies müsste doch die Ableitung der Umkehrfunktion sein?
Vielen Dank,
itse
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Hallo,
die Aufgabe ist anders zu verstehen: Du sollst die Ableitung der Funktion f zweimal berechnen: zuerst sollst du f direkt ableiten (das hast Du gemacht) und dann sollst Du die Ableitung von f berechnen, indem Du die Umkehrfunktion von f ableitest (mit der von Dir verwendeten Formel).
Mit g analog.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 14.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
danke für die Antwort.
Es sollte also beide male das selbe Ergebnis rauskommen, beim direkten ableiten und bei der ableitung der umkehrfunktion. Also
f(x) = y = [mm] \wurzel[3]{x}
[/mm]
die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}(x) [/mm] = x³
Wenn ich diese Umkehrfunktion nun ableite erhalte ich [mm] f^{-1}'(x) [/mm] = 3x²
Also genau das über die angegebe Formel. Ich glaube, ich verstehe die Aufgabe noch immer nicht so ganz. Aber die Ableitung der Umkehrfunktion lautet doch [mm] f^{-1}'(x) [/mm] = 3x²?
Wie soll man denn dann, auf das selbe Ergebnis kommen?
Weiteres Beispiel h(x) = [mm] e^x [/mm] die Umkehrfunktion [mm] h^{-1}(x) [/mm] = ln(x) und die Ableitung der Umkehrfunktion [mm] h^{-1}'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] dies ist auch bekanntlich auch etwas anders, als wenn man h(x) direkt ableitet.
Gruß
itse
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Hallo,
siehe unten
korbinian
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Hallo,
Du bist schon auf dem richtigen Weg; Du hörst nur zu früh auf.
>
> f(x) = y = [mm]\wurzel[3]{x}[/mm]
>
> die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(x)[/mm] = x³
>
> Wenn ich diese Umkehrfunktion nun ableite erhalte ich
> [mm]f^{-1}'(x)[/mm] = 3x²
Alles o.K. bis hierher.
Nun sollst Du die Formel für die Ableitung von f mit Hilfe der Umkehrfunktion anwenden. Also:
f´(x)=[mm]\bruch{1}{f^{-1}^{'}(y)}[/mm][mm] =\bruch{1}{3y^{2}}
[/mm]
Jetzt überleg Dir noch wie x und y zusammenhängen, dann bist Du fertig
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Do 14.05.2009 | | Autor: | itse |
> Hallo,
> Du bist schon auf dem richtigen Weg; Du hörst nur zu früh
> auf.
>
> >
> > f(x) = y = [mm]\wurzel[3]{x}[/mm]
> >
> > die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(x)[/mm] = x³
> >
> > Wenn ich diese Umkehrfunktion nun ableite erhalte ich
> > [mm]f^{-1}'(x)[/mm] = 3x²
>
> Alles o.K. bis hierher.
> Nun sollst Du die Formel für die Ableitung von f mit Hilfe
> der Umkehrfunktion anwenden. Also:
> f´(x)=[mm]\bruch{1}{f^{-1}^{'}(y)}[/mm][mm] =\bruch{1}{3y^{2}}[/mm]
> Jetzt
> überleg Dir noch wie x und y zusammenhängen, dann bist Du
> fertig
y = [mm] \wurzel[3]{x}
[/mm]
-> f´(x)=[mm]\bruch{1}{f^{-1}^{'}(y)}[/mm][mm] =\bruch{1}{3y^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3 \cdot{} \wurzel[3]{x²}[/mm]
Nun ist der Groschen gefallen, ich meinem Mathebuch war es genau andersherum erklärt, dort war die Ableitung der Umkehrfunktion, durch die Ableitung der Funktion definiert. Bei dieser Aufgabe suchen wir jedoch, die Ableitung der Funktion ausgedrückt durch die Ableitung der Umkehrfunktion. Was mich die ganze Zeit gewundert hatte, dass nicht das selbe Ergebnis herauskommt.
Vielen Dank,
itse
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