Ableitung des Phasenwinkels < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Di 11.10.2011 | | Autor: | tynia |
Hallo zusammen. Ich hoffe ihr könnt mir bei einem Problem helfen.
Ich habe ein komplexe Funktion [mm] z(t)=x(t)+iy(t)=e^{i \phi t}
[/mm]
Den Winkel [mm] \phi [/mm] berechnen ich ja mit dem Arctan von Imaginärteil durch Realteil der komplexen Funktion,
also [mm] \phi(t)=arctan(y(t)/x(t))
[/mm]
Wie kann ich den Winkel als Taylorreihe darstellen? Ich habe in der Liteartur folgendes gefunden:
If we express the angle with a Taylor series then
[mm] \phi(t) [/mm] = [mm] \phi(t_{0}) [/mm] + [mm] (t-t_{0})\phi'(t_{0})+R
[/mm]
where R is small when t is close to [mm] t_{0}
[/mm]
Ich verstehe das irgendwie nicht. Kann mir das jemand erklären???
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen. Ich hoffe ihr könnt mir bei einem Problem
> helfen.
>
> Ich habe ein komplexe Funktion [mm]z(t)=x(t)+iy(t)=e^{i \phi t}[/mm]
>
> Den Winkel [mm]\phi[/mm] berechnen ich ja mit dem Arctan von
> Imaginärteil durch Realteil der komplexen Funktion,
>
> also [mm]\phi(t)=arctan(y(t)/x(t))[/mm]
Das stimmt nur für den Fall x(t)>0 !!
>
> Wie kann ich den Winkel als Taylorreihe darstellen? Ich
> habe in der Liteartur folgendes gefunden:
>
> If we express the angle with a Taylor series then
> [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]\phi(t_{0})[/mm] + [mm](t-t_{0})\phi'(t_{0})+R[/mm]
> where R is small when t is close to [mm]t_{0}[/mm]
Da wir nichts über x(t) und y(t) wissen, haben wir auch keine Informationen über Differenzierbarkeitseig. von [mm] \phi(t). [/mm] Aber gehen wir davon aus, dass [mm] \ph [/mm] zweimal stetig differenzierbar ist, dann sagt der Satz von Taylor:
[mm]\phi(t)[/mm] = [mm]\phi(t_{0})[/mm] + [mm](t-t_{0})\phi'(t_{0})+R[/mm],
wobei [mm] R=\bruch{\phi''(\xi)}{2}(t-t_0)^2 [/mm] und [mm] \xi [/mm] zwischen t und [mm] t_0 [/mm] ist.
FRED
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> Ich verstehe das irgendwie nicht. Kann mir das jemand
> erklären???
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Di 11.10.2011 | | Autor: | tynia |
Danke erstmal für die antwort.
aber warum 2 mal stetig differenziebar???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für die antwort.
>
> aber warum 2 mal stetig differenziebar???
Na ja, das braucht man halt im Taylorschen Satz und im zugeh. Beweis.
http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel
FRED
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