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Forum "Differentiation" - Ableitung , differenzierbar
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Ableitung , differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mi 07.01.2009
Autor: csak1162

Aufgabe
Untersuche, wo die folgenden Ableitungen differenzierbar sind und bestimme die Ableitung mittels der Definition

[mm] f1:\IR\to\IR [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] |x|

[mm] f2:\IR\to\IR [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] cos x


okay ich stehe wieder einmal vollkommen auf der Leitung

was muss ich da machen, und wie mache ich das????

würde mir sehr helfen, wenn mir das jemand relativ genau erklären könnte!!


danke lg

        
Bezug
Ableitung , differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Mi 07.01.2009
Autor: zetamy

Hallo ins liebe Nachbarland ;-)

> Untersuche, wo die folgenden Ableitungen differenzierbar
> sind und bestimme die Ableitung mittels der Definition
>  
> [mm]f1:\IR\to\IR[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm] |x|
>  
> [mm]f2:\IR\to\IR[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

cos x
>  
>
> okay ich stehe wieder einmal vollkommen auf der Leitung
>  
> was muss ich da machen, und wie mache ich das????

Du musst den Differentialquotienten berechnen, dh. $ f'(x_0) = \limes_{h \to 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $.

>  
> würde mir sehr helfen, wenn mir das jemand relativ genau
> erklären könnte!!

Beispiel: Sei $f(x):=x^2$. Dann ist $ f'(x_0) = \limes_{h \to 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \limes_{h \to 0}\bruch{(x_0+h)^2-x_0^2}{h} = \limes_{h \to 0}\bruch{2x_0h+h^2}{h} = \limes_{h \to 0}\bruch{2x_0h}{h} + \limes_{h\to 0}\bruch{h^2}{h} = \limes_{h \to 0} 2x_0 + \limes_{h\to 0}h^2 = 2x_0$.

Tipps

Die Betragsfunktion ist ja wie folgt definiert $f_1(x)=\left\{\begin{matrix} x & \mbox{für }x>0 \\ 0 & \mbox{für }x=0 \\ -x & \mbox{für } x<0 \end{matrix}\right$ . Folglich musst du auch beim Differentialquotienten unterscheiden zwischen postiven und negativen Werten und insbesondere der Null.
Der Fall x<0 folgt sofort aus dem positiven Fall (denn -x>0), dh. du musst nur den Fall x>0 und x=0 betrachten.

Für die Ableitung des Cosinus rate ich dir []hier zu gucken. Die Ableitung des Cosinus geht analog mit [mm] $\cos(x+h) [/mm] - [mm] \cos(h) [/mm] = [mm] -2\sin(x+\frac{h}{2})\sin{h}{2}$ [/mm] (das folgt aus den Additionstheoremen).



Gruß zetamy



Bezug
                
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Ableitung , differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:28 Sa 10.01.2009
Autor: csak1162

[img] und [url=1]

stimmen die Aufgaben so dann nicht, oder???


lg danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Ableitung , differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Sa 10.01.2009
Autor: reverend

Hallo csak,

doch, das sieht alles ganz richtig aus.
Du solltest für |x| aber noch begründen, warum die Funktion in x nicht diffbar ist: links- und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten verschieden.

Dein pdf-Scan ist übrigens sozusagen zu gut lesbar: 4,47MB! Wähle lieber eine geringere Auflösung, 200kB reichen eigentlich auch, um das lesen zu können. Außerdem dauert der Upload dann auch nicht so lang, und der Server wird nicht so "zugemüllt".

lg,
reverend
Bezug
                                
Bezug
Ableitung , differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Sa 10.01.2009
Autor: csak1162

okay, muss man da zuwerst kürzen und dann den limes anwenden  oder???



Bezug
                                        
Bezug
Ableitung , differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Sa 10.01.2009
Autor: reverend

Du hast doch den Differenzenquotienten schon bearbeitet. Das musst Du nun nur noch einmal speziell für x=0 machen, von links und von rechts.
Bezug
                
Bezug
Ableitung , differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Sa 10.01.2009
Autor: csak1162

ich verstehe noch nicht ganz wie das funktioniert

ich habe jetzt etwas gerechnet, aber irgendwie habe ich es noch nicht verstanden

welche fehler habe ich da gemacht??
und die ??

danke lg

[img] und [url=1]


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Ableitung , differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Sa 10.01.2009
Autor: leduart

Hallo
Deine Rechnung ist richtig, da ja die Steigung für alle x>0 1 ist. Wenn man nur x=0 untersucht sollte man für f(x) auch f(0) einsetzen.
Was verstehst du an deinem vorgehen denn nicht?
Wenn du die Fkt zeichnest, siehst du doch dass rechts von 0 die Steigung 1, links von 0 -1 ist, und zwar für alle h
Du solltest also h>0 und f((0)-f(-h)/(-h) und f(h)-f(0)/h ansehen und f(0)=0 einsetzen.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Ableitung , differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Sa 10.01.2009
Autor: csak1162

nur noch eine kurze frage

ist das richtig was unten bei den ?? steht oder das darüber


Bezug
                                        
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Ableitung , differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Sa 10.01.2009
Autor: leduart

Hallo
ich hatte dir doch geschrieben, was richtig ist.
Falsch bei dir ist :
1.x nicht 0 eingesetzt.
2. f(x) überall x statt |x|
Da es richtig höchstens 3 Zeilen sind kannst du ja direkt hier schreiben.
Dein eingerahmtes ?? ist doch dasselbe wie das darüber?
Gruss leduart
Bezug
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