Ableitung einer Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mo 12.03.2007 | | Autor: | LaraBln |
| Aufgabe | a)Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle von x=0
[mm] f(x)=x^{3}-1 [/mm] ; x=0
b)An welchen Stellen hat die Funktion f bestimmte Steigung m ?
[mm] f(x)=3x^{2}-12x+17
[/mm]
m=12 |
Hallo ihr Lieben...
Ich bin am verzweifeln...
bei der ersten und zeiten Aufgabe müssen wir die Ableitung mit [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] durchführen.
Ich eiss nicht weiter, da ich mit den Ableitungen überhaupt nicht zurecht komme!!!
Vielen Dank im Vorraus für eure Hilfe!
Lara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mo 12.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
also:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] = [mm] \bruch{f(a+h)-f(a)}{h}, [/mm] falls er existiert. Ableitung existiert : f'(x)= [mm] 3x^{2}. [/mm]
Du musst die Formel oben insoweit auflösen (siehe ganz unten), dass du h gegen 0 laufen lassen kannst und dann das Ergebnis rausbekommst.
Der Anfang: [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] = [mm] \bruch{(a+h)^{3}-1 - (a^{3}-1)}{h}
[/mm]
Das gilt es weiter aufzulösen.
Du musst also eine Tangente durch x=0 legen.
Die Allgemeine Formel für eine Gerade: y= m*x+b
Wir nehmen zuerst: f(0)= -1 (y-Wert)
m errechnen wir mit unsere Ableitung: f'(0) = 0, somit ist unser m = 0, d.h. die Steigung der Tangente durch die Stelle x=0 ist 0.
Wir haben also: -1 = 0*x+b [mm] \Rightarrow [/mm] b=-1
Die Tangente durch die Stelle x=0 ist also eine Paralelle zur x-Achse mit y=-1.
______
Ich leite bei dem zweiten Teil mal ganz "normal" ab:
f(x)= [mm] 3x^{2} [/mm] - 12x + 17
f'(x) = 6x - 12
Um zu sehen, an welchen Stellen die Fkt. die Steigung m = 12 hat, setzt du
f'(x) = 12 gleich. Weil mit der Ableitung f'(x) errechnet man ja die Steigung an einer Stelle x.
Also:
12 = 6x -12 | +12
24 = 6x | :6
4 = x
An der Stelle x =4 hat die Funktion f(x) = [mm] 3x^{2} [/mm] - 12x + 17 die Steigung m = 12.
Ich hoffe, es hilft und ich habe mich nicht verrechnet.
MfG
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habe mir überlegt, ich zeige dir noch mal schnell das mit dem Limes:
Der Anfang: [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] = [mm] \bruch{(a+h)^{3}-1 - (a^{3}-1)}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] = [mm] \bruch{a^{3} + 3a^{2}h + 3ah^{2} + h^{3} - 1 - a^{3} + 1}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] = [mm] \bruch{3a^{2}h}{h} [/mm] + [mm] \bruch{3ah^{2}}{h} [/mm] + [mm] \bruch{h^{3}}{h} [/mm]
kürzen, soweit es geht:
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0} [/mm] = [mm] 3a^{2} [/mm] + 3ah + [mm] h^{2} [/mm]
(h gegen 0 laufen lassen)
= [mm] 3a^{2}
[/mm]
Und anstelle des a ein x einsetzen und fertig ist f'(x) = [mm] 3x^{2}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mo 12.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich bins noch mal. Und zwar zur zweiten Aufgabe:
f(x) = [mm] 3x^{2}-12x+17
[/mm]
Ableitung bestimmen mit Hilfe des [mm] \limes_{h\rightarrow\0}:
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{3(a+h)^{2}-12(a+h)+17-(3a^{2}-12a+17)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{3a^{2}+6ah+3h^{2}-12a-12h+17-3a^{2}+12a-17}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{6ah+3h^{2}-12h}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{6ah}{h}+\bruch{3h^{2}}{h}-\bruch{12h}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0} [/mm] 6a+3h-12
= 6a-12
f'(x)= 6x-12
Sehr viele Formeln, hoffe, sind keine Rechen-/Schreibfehler drin. Aber in erster Linie hoffe ich, es hilft. MfG
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